Nos conjuntos a seguir, identifique aqueles que são base do espaço vetorial mencionado, e aqueles que não são. Justifique.
base de
?
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pergunta se
é base de
. Para isso precisamos da definição de base: um subconjunto de um espaço vetorial que é (i) linearmente independente e (ii) gera todo o espaço. Também vamos usar o fato de que
.
Passo 2
Em um espaço vetorial de dimensão
, todo conjunto com mais de
vetores é necessariamente linearmente dependente. Como
tem 4 vetores e
, concluímos que
é linearmente dependente.
Passo 3
Para ver isso de modo explícito, chame
e
.
Então
Então
que é uma combinação linear não trivial. Logo
não é livre e, portanto, não pode ser base.