Nos conjuntos a seguir, identifique aqueles que são base do espaço vetorial mencionado, e aqueles que não são. Justifique.
E=(2,1,-3),(4,2,-6),(1,2,1),(3,3,5) base de R^3 ?

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
E = (2,1,-3),,(4,2,-6),,(1,2,1),,(3,3,5)
e pergunta se E é base de R^3. Para isso precisamos da definição de base: um subconjunto de um espaço vetorial que é (i) linearmente independente e (ii) gera todo o espaço. Também vamos usar o fato de que dim(R^3)=3.

Passo 2

Em um espaço vetorial de dimensão n, todo conjunto com mais de n vetores é necessariamente linearmente dependente. Como E tem 4 vetores e 4>3, concluímos que E é linearmente dependente.

Passo 3

Para ver isso de modo explícito, chame
v1=(2,1,-3) e v2=(4,2,-6).
Então
v2 - 2,v1 = (4,2,-6) - 2,(2,1,-3) = (4,2,-6) - (4,2,-6) = (0,0,0),
que é uma combinação linear não trivial. Logo E não é livre e, portanto, não pode ser base.

Resposta

E não é base de R^3, pois é linearmente dependente.

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