Considere rotacionar o sistema de eixos cartesianos em 45^circ, sentido anti-horário. Neste caso, rotacionamos os vetores canônicos da mesma forma, e obtemos uma nova base de R^2, os vetores w1=(raiz22, raiz22) e w2=(-raiz22, raiz22).
Determine as coordenadas do vetor v=(4,2) no novo sistema de coordenadas obtido com a nova base beta=w1, w2. Represente graficamente os novos eixos e o vetor v como combinação linear dos vetores da nova base obtida.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor v=(4,2) na nova base beta=w1,w2, onde
w1=l(tfracraiz22,tfracraiz22r), w2=l(-tfracraiz22,tfracraiz22r),
obtida ao rotacionar o sistema de eixos em 45^circ no sentido anti-horário. Vamos usar a ideia de combinação linear:
v=c1,w1+c2,w2,
e determinar c1 e c2.

Passo 2

Escrevendo componente a componente temos
raiz22,c1 -raiz22,c2 =4,
raiz22,c1 +raiz22,c2 =2

Passo 3

Para simplificar, multiplica-se cada equação por tfrac2raiz2:
c1-c2=4raiz2,
c1+c2=2raiz2

Passo 4

Somando as duas equações:
2c1=6raiz2 Longrightarrow c1=3raiz2
Substituindo em c1+c2=2raiz2:
3raiz2+c2=2raiz2 Longrightarrow c2=-raiz2

Passo 5

Graficamente, desenhe a direção de w1 a 45^circ e de w2 a 135^circ a partir da origem. Em seguida:
1. Trace 3raiz2 vezes o vetor w1 a partir da origem.
2. A partir desse ponto, subtraia raiz2 vezes o vetor w2.
O resultado dessa soma/decomposição é exatamente o vetor v=(4,2).

Resposta

As coordenadas de v na base beta são
(3raiz2,,-raiz2)

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