Determine uma base para os espaços vetoriais:
W=>=r(1,2,2,1),(4,8,8,4),(2,3,1,0),(3,5,3,1)

Passo 1

O enunciado pede uma base para o subespaço
W = >=rv1,v2,v3,v4subseteq R^4
onde
v1=(1,2,2,1), v2=(4,8,8,4), v3=(2,3,1,0), v4=(3,5,3,1)
O conteúdo aqui é dependência linear em R^4: vamos identificar vetores redundantes e extrair um conjunto independente que gere o mesmo espaço.

Passo 2

Note que
v2 = (4,8,8,4) = 4,(1,2,2,1) = 4,v1
Logo v2 é múltiplo de v1 e não contribui com dimensão extra.

Passo 3

Vamos ver se
Isto é,
Em coordenadas, o sistema é
De segue , que satisfaz as outras equações. Assim
Portanto é combinação de e e é redundante.

Passo 4

Sobram os vetores v1 e v3. Eles não são múltiplos um do outro (verifique que (1,2,2,1) não é escalar de (2,3,1,0)), logo são independentes. E como já vimos, v2 e v4 ficam no span de v1,v3. Assim
W = span,v1,,v3
e v1,v3 é base de W.

Resposta

Uma base para W é
l(1,2,2,1),,(2,3,1,0)r

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