Qual o valor de b para que o sistema:
lx1+3 x2-x3+2 x4=5 2 x1+5 x2-x3+3 x4=2 x1+x2+2 x3=b seja possível?

Passo 1

O enunciado pede o valor de b para que o sistema
x1+3x2-x3+2x4=5, 2x1+5x2-x3+3x4=2, x1+x2+2x3=b
seja compatível (isto é, tenha solução). O método que vamos usar é o Teorema de Rouché–Frobenius: o sistema é possível se, e somente se, a classificação (posto) da matriz de coeficientes for igual à da matriz aumentada.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada l[Amid br] e aplicamos operações de linha para chegar à forma escalonada:
[cccc|c 1 & 3 & -1 & 2 & 5 2 & 5 & -1 & 3 & 2 1 & 1 & 2 & 0 & b ]

Passo 3

Eliminamos x1 das linhas 2 e 3:
R2 R2-2R1, R3 R3-R1
resultando em
[cccc|c 1 & 3 & -1 & 2 & 5 0 & -1 & 1 & -1 & -8 0 & -2 & 3 & -2 & b-5 ]

Passo 4

Agora eliminamos o pivô de x2 na terceira linha:
R3 R3-2R2
e obtemos
[cccc|c 1 & 3 & -1 & 2 & 5 0 & -1 & 1 & -1 & -8 0 & 0 & 1 & 0 & b+11 ]

Passo 5

Na forma final vemos que há três pivôs (em colunas de ), logo o posto da matriz de coeficientes é
Como a linha final não gera contradição para nenhum (ela apenas define ), o posto da matriz aumentada também é
Pelo Teorema de Rouché–Frobenius, o sistema é compatível sempre que , e aqui isso vale para todo .

Resposta

O sistema é possível para qualquer valor de binR.

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