Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para P3 ? Justifique suas respostas.
1, x^2, x^2-2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
1,;x^2,;x^2-2
é um conjunto gerador de P3, o espaço dos polinômios de grau no máximo 3.
Lembrando que
dim P3=4,
ou seja, qualquer conjunto gerador de P3 deve ter pelo menos 4 vetores (polinômios) linearmente independentes.

Passo 2

O conjunto dado tem apenas 3 polinômios. Portanto já pela contagem de dimensão não pode gerar todo P3, pois
|1,x^2,x^2-2|=3<dim P3=4
Em particular, qualquer combinação linear
acdot 1 + bcdot x^2 + c,(x^2-2) =l(a-2cr) + (b+c),x^2
é um polinômio sem termos em x ou x^3. Logo não é possível obter, por exemplo, x ou x^3 como combinação desses três.

Resposta

O conjunto 1,x^2,x^2-2 não é gerador de P3.

Exercícios relacionados