Dos conjuntos a seguir, verifique quais são bases de \mathbb{R}^{2} ou \mathbb{R}^{3} \{(1,2,1),(-2,3,0),(5,0,3)\}
Passo 1
O enunciado dá o conjunto \{(1,2,1),\,(-2,3,0),\,(5,0,3)\}
e pede para verificar se ele é base de \mathbb{R}^2 ou de \mathbb{R}^3.
Sabemos que um conjunto S é base de \mathbb{R}^n se, e somente se,
S tem exatamente n vetores,
os vetores de S são linearmente independentes.
Passo 2
Verificamos primeiro a cardinalidade de \{(1,2,1),\,(-2,3,0),\,(5,0,3)\}: são 3 vetores.
Logo, não pode ser base de \mathbb{R}^2 (precisa de 2 vetores).
Para \mathbb{R}^3 a quantidade de vetores confere (3 vetores em dimensão 3), resta testar a independência linear.
Passo 3
Para checar independência, montamos a matriz M cujas colunas são os vetores dados: