Dos conjuntos a seguir, verifique quais são bases de \mathbb{R}^{2} ou \mathbb{R}^{3}
\{(1,2,1),(-2,3,0),(5,0,3)\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
\{(1,2,1),\,(-2,3,0),\,(5,0,3)\}
e pede para verificar se ele é base de \mathbb{R}^2 ou de \mathbb{R}^3.
Sabemos que um conjunto S é base de \mathbb{R}^n se, e somente se,
  1. S tem exatamente n vetores,
  2. os vetores de S são linearmente independentes.

Passo 2

Verificamos primeiro a cardinalidade de
\{(1,2,1),\,(-2,3,0),\,(5,0,3)\}: são 3 vetores.
Logo, não pode ser base de \mathbb{R}^2 (precisa de 2 vetores).
Para \mathbb{R}^3 a quantidade de vetores confere (3 vetores em dimensão 3), resta testar a independência linear.

Passo 3

Para checar independência, montamos a matriz M cujas colunas são os vetores dados:
M = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5\\\\ 2 & 3 & 0\\\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos o determinante de M.
\det(M) = 1\cdot(3\cdot3 - 0\cdot0) -(-2)\cdot(2\cdot3 - 0\cdot1) +5\cdot(2\cdot0 - 3\cdot1) = 1\cdot9 +2\cdot6 +5\cdot(-3) = 9 +12 -15 = 6.
Como \det(M)=6\neq0, os vetores são linearmente independentes em \mathbb{R}^3.

Resposta

O conjunto não é base de \mathbb{R}^2 (pois tem 3 vetores), e é base de \mathbb{R}^3 (3 vetores linearmente independentes).

Exercícios relacionados