Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de espaço vetorial dado.
V=\mathbb{R}^{3}, W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y-3 z=0 \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = \mathbb{R}^3 e o subconjunto
W = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid x + y - 3z = 0\}.
Queremos verificar se W é um subespaço vetorial de V. Para isso, usaremos o teste de subespaço:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) pertence a W. Substituindo em x+y-3z:
0 + 0 - 3\cdot 0 = 0.
Como a equação é satisfeita, (0,0,0)\in W. Logo, W não é vazio.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob soma. Tomemos (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) em W. Então
x_1 + y_1 - 3z_1 = 0 \quad\text{e}\quad x_2 + y_2 - 3z_2 = 0.
Para o vetor soma (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2), temos
(x_1+x_2)+(y_1+y_2)-3(z_1+z_2) =(x_1+y_1-3z_1)+(x_2+y_2-3z_2)=0+0=0.
Logo, a soma está em W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação por escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e (x,y,z)\in W. Então x+y-3z=0. Para o vetor \lambda(x,y,z)=(\lambda x,\lambda y,\lambda z), calculamos
\lambda x + \lambda y - 3(\lambda z) =\lambda\,(x+y-3z)=\lambda\cdot 0=0.
Logo, \lambda(x,y,z)\in W.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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