Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de espaço vetorial dado.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o subconjunto
Queremos verificar se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, usaremos o teste de subespaço:
-
não é vazio (contém o vetor zero). -
é fechado sob soma de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
. Substituindo em
:
Como a equação é satisfeita,
. Logo,
não é vazio.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma. Tomemos
e
em
. Então
Para o vetor soma
, temos
Logo, a soma está em
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
. Para o vetor
, calculamos
Logo,
.