Seja A=[cc1 & 2 -12 & x]. A matriz A é diagonalizável se:
x=0

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 [6pt] -tfrac12 & x
e pede os valores de x para os quais A é diagonalizável. O conteúdo envolvido é: critério de diagonalização em dimensão 2, que diz que uma matriz 2times 2 é diagonalizável sobre R se, e só se, ela tiver dois autovalores reais distintos ou, em caso de autovalor duplo, sua multiplicidade geométrica for 2.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 2 [4pt] -tfrac12 & x-lambda = (1-lambda)(x-lambda) + 1
Expandindo, obtemos
(1-lambda)(x-lambda) + 1 = lambda^2 - (x+1),lambda + (x+1) ]

Passo 3

O discriminante desse polinômio é
De<a = (x+1)^2 - 4(x+1) = (x+1)l((x+1)-4r) = (x+1)(x-3)
Logo os autovalores são distintos sempre que De<a neq 0, isto é, x neq -1 e x neq 3.

Passo 4

Para diagonalização sobre R precisamos que os autovalores sejam reais e distintos. Isso equivale a exigir De<a>0, ou seja,
(x+1)(x-3)>0 Longrightarrow x < -1 ou x > 3
Nos outros casos ( -1<x<3) os autovalores são complexos e, em x=-1 ou x=3, temos repetição de autovalor com multiplicidade geométrica 1, impedindo a diagonalização real.

Resposta

A matriz A é diagonalizável sobre R exatamente para
x < -1 ou x > 3

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