Quais os conjuntos de vetores dados são ortogonais em relação ao produto interno usual do R^3 ?
(1raiz6, 1raiz6,-2raiz6),(1raiz2,-1raiz2, 0)

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em R^3 e pede para verificar se formam um conjunto ortogonal em relação ao produto interno usual. Vamos usar a definição de produto interno e a condição de ortogonalidade.

Passo 2

Em R^3 com produto interno usual, dados
v=(v1,v2,v3), w=(w1,w2,w3),
temos
vcdot w = v1w1 + v2w2 + v3w3
Dois vetores são ortogonais se e somente se vcdot w=0.

Passo 3

Sejam
v1 = l(tfrac1raiz6,;tfrac1raiz6,;-tfrac2raiz6r), v2 = l(tfrac1raiz2,;-tfrac1raiz2,;0r)
Calculamos
v1cdot v2 = 1raiz6cdot1raiz2 + 1raiz6cdotl(-1raiz2r) + l(-2raiz6r)cdot0 = 1raiz12 - 1raiz12 + 0 = 0

Passo 4

Como o produto interno v1cdot v2 é zero, concluímos que os dois vetores são ortogonais.

Resposta

O conjunto formado por l(tfrac1raiz6,tfrac1raiz6,-tfrac2raiz6r) e l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2,0r) é ortogonal no produto interno usual de R^3.

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