Reduza os seguintes conjuntos de vetores a uma base.
(c)
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em R^3:
w1=(1,2,3), w2=(0,1,2), w3=(3,4,5), w4=(4,6,8),
e pede para encontrar uma base do subespaço que eles geram. Vamos usar o teste de independência linear por eliminação de Gauss em uma matriz cujas linhas são esses vetores.
Passo 2
Formamos a matriz 4times3 com as linhas iguais a w1,w2,w3,w4:
1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 3 & 4 & 5 4 & 6 & 8
e aplicamos as operações de linha para chegar à forma escalonada.
Passo 3
Subtraímos 3 vezes a linha 1 da linha 3 e 4 vezes a linha 1 da linha 4:
1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & -2 & -4 0 & -2 & -4
Em seguida, somamos a linha 3 à linha 4 para zerar esta última:
1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & -2 & -4 0 & 0 & 0
Passo 4
Para finalizar, dividimos a linha 3 por -2, obtendo
1 & 2 & 3 0 & 1 & 2 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0
Note que a linha 3 ficou igual à linha 2, mostrando que só há dois pivôs (nas colunas 1 e 2). Logo, a dimensão do espaço gerado é 2 e podemos escolher como base as primeiras duas linhas originais, que correspondem aos vetores w1 e w2.