Quais os conjuntos de vetores dados são ortonormais em relação ao produto interno usual do R^3 ?
(23,-23, 13),(23, 13,-23),(13, 23, 23)

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
v1=l(tfrac23,-tfrac23,tfrac13r),
v2=l(tfrac23,tfrac13,-tfrac23r) e
v3=l(tfrac13,tfrac23,tfrac23r).
Queremos verificar se eles formam um conjunto ortonormal no produto interno usual, ou seja:
  1. cada vetor tem norma 1, isto é, |vi|=1;
  2. vetores distintos são ortogonais, isto é, lang<= vi,vjrang<==0 para ineq j.

Passo 2

Calcular as normas:
|v1|^2 = l(tfrac23r)^2 + l(-tfrac23r)^2 + l(tfrac13r)^2 = 49 + 49 + 19 = 1,
|v2|^2 = l(tfrac23r)^2 + l(tfrac13r)^2 + l(-tfrac23r)^2 = 49 + 19 + 49 = 1,
|v3|^2 = l(tfrac13r)^2 + l(tfrac23r)^2 + l(tfrac23r)^2 = 19 + 49 + 49 = 1
Logo, todos têm norma 1.

Passo 3

Calcular os produtos internos entre pares distintos:
lang<= v1,v2rang<= = tfrac23cdottfrac23 + l(-tfrac23r)cdottfrac13 + tfrac13cdotl(-tfrac23r) = 49 - 29 - 29 = 0,
lang<= v1,v3rang<= = tfrac23cdottfrac13 + l(-tfrac23r)cdottfrac23 + tfrac13cdottfrac23 = 29 - 49 + 29 = 0,
lang<= v2,v3rang<= = tfrac23cdottfrac13 + tfrac13cdottfrac23 + l(-tfrac23r)cdottfrac23 = 29 + 29 - 49 = 0
Portanto, são mutuamente ortogonais.

Passo 4

Como cada vetor tem norma 1 e são pairwise ortogonais, concluímos que v1,v2,v3 é um conjunto ortonormal no produto interno usual de R^3.

Resposta

O conjunto ll(tfrac23,-tfrac23,tfrac13r),;(tfrac23,tfrac13,-tfrac23),;(tfrac13,tfrac23,tfrac23)r é ortonormal.

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