Connidere a função
.
Encontre o mínimo local e o máximo local (se houver).
Encontre o mínimo local e o máximo local (se houver).
Passo 1
O enunciado pede os extremos locais da função
. Vamos usar cálculo diferencial: derivada para achar pontos críticos e segunda derivada para classificá-los.
Passo 2
Calcular a derivada primeira e achar pontos críticos. Temos
Passo 3
Os pontos críticos satisfazem
que simplifica (dividindo por
Passo 4
O discriminante é
. Para termos raízes reais precisamos de
, ou seja
. As soluções dessa equação são
Passo 5
Calcular a segunda derivada para classificar cada ponto crítico. Temos
Passo 6
Analisando o sinal de
em
e
:
– A maior raiz satisfaz
, logo
– A maior raiz
o que indica um máximo local em
– A menor raiz
o que indica um mínimo local em
.
Passo 7
Conclui-se: se
existem dois extremos; se
há raiz dupla e ponto de inflexão; se
não há extremos reais.
Resposta
Para
:
– Máximo local em
– Mínimo local em
Para : ponto de inflexão único (sem extremo). Para
: não há extremos reais.
– Máximo local em
– Mínimo local em
Para