Connidere a função f(x)=-2 x^3-9 x^2+2 A x+1.
Encontre o mínimo local e o máximo local (se houver).

Passo 1

O enunciado pede os extremos locais da função f(x)=-2x^3-9x^2+2Ax+1. Vamos usar cálculo diferencial: derivada para achar pontos críticos e segunda derivada para classificá-los.

Passo 2

Calcular a derivada primeira e achar pontos críticos. Temos
f'(x) = ddx(-2x^3-9x^2+2Ax+1) = -6x^2 -18x +2A

Passo 3

Os pontos críticos satisfazem
-6x^2 -18x +2A = 0,
que simplifica (dividindo por -2) em
3x^2 +9x - A = 0

Passo 4

O discriminante é De. Para termos raízes reais precisamos de De=0, ou seja A>= -27/4. As soluções dessa equação são
x1,2 = -9 pm raiz81 +12A6

Passo 5

Calcular a segunda derivada para classificar cada ponto crítico. Temos
f''(x) = ddx(-6x^2 -18x +2A)= -12x -18

Passo 6

Analisando o sinal de f'' em x1 e x2:
– A maior raiz x1=tfrac-9+raiz81+12A6 satisfaz x1>-1.5, logo
f''(x1) = -12x1 -18 < 0,
o que indica um máximo local em x1.
– A menor raiz x2=tfrac-9-raiz81+12A6 satisfaz x2<-1.5, logo
f''(x2) = -12x2 -18 > 0,
o que indica um mínimo local em x2.

Passo 7

Conclui-se: se A>-27/4 existem dois extremos; se A=-27/4 há raiz dupla e ponto de inflexão; se A< -27/4 não há extremos reais.

Resposta

Para A>-27/4:
– Máximo local em x=tfrac-9+raiz81+12A6
– Mínimo local em x=tfrac-9-raiz81+12A6
Para A=-27/4: ponto de inflexão único (sem extremo). Para A< -27/4: não há extremos reais.

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