Como consequência dos axiomas de espaço vetorial, verifique que num espaço vetorial E valem:
a) u+v=u+w Longrightarrow v=w. Em particular, u+v=u=u+0 Longrightarrow v=0
b) 0 cdot u=0;
c) lambda cdot 0=0
d) lambda neq 0 e u neq 0 Longrightarrow lambda cdot u neq 0
e) (-1) cdot u=-u

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, a partir dos axiomas de espaço vetorial sobre um corpo K e um espaço vetorial E, que valem as propriedades de cancelamento, unicidade do zero, e comportamentos especiais da multiplicação escalar com zero, inverso escalar e o escalar -1. Vamos usar:
– Existência de elemento neutro aditivo 0in E e inverso aditivo -u.
– Propriedades de associatividade e comutatividade da soma em E.
– Distributividade da multiplicação escalar: (alpha+beta),u = alpha,u + beta,u e alpha,(u+v) = alpha,u + alpha,v.
– Existência de elemento neutro escalar 1in K e inversos escalar para lambdaneq0.

Passo 2

Provar que de u+v = u+w segue v = w.
Adicionamos o inverso aditivo de u em ambos os lados:
(-u)+(u+v) ;=;(-u)+(u+w)
Pela associatividade e porque (-u)+u=0, obtemos
0+v = 0+w Longrightarrow v = w
Em particular, se u+v = u = u+0, então v=0.

Passo 3

Provar que 0cdot u=0.
Use a distributividade escalar sobre a soma de escalares:
(0+0)cdot u = 0cdot u + 0cdot u
Como 0+0=0, isso dá
0cdot u = 0cdot u + 0cdot u
Aplicando o cancelamento (Passo 2) em 0cdot u +(-,0cdot u) em ambos os lados, segue
0 = 0cdot u

Passo 4

Provar que lambdacdot 0=0.
Use a distributividade escalar sobre a soma de vetores:
lambdacdot(0+0) = lambdacdot 0 + lambdacdot 0
Como 0+0=0, obtemos
lambdacdot 0 = lambdacdot 0 + lambdacdot 0
e, pelo cancelamento,
0 = lambdacdot 0

Passo 5

Provar que se lambdaneq0 e uneq0 então lambdacdot uneq0.
Suponha, por contradição, que lambdacdot u = 0. Como lambdaneq0, existe lambda^-1 em K. Multiplicamos ambos os lados por lambda^-1:
lambda^-1,(lambdacdot u) = lambda^-1cdot 0 ;Longrightarrow; (lambda^-1lambda),u = 0 ;Longrightarrow; 1cdot u = 0 ;Longrightarrow; u = 0,
contradizendo uneq0. Logo lambdacdot uneq0.

Passo 6

Provar que (-1)cdot u = -u.
Da soma de escalares (-1)+1=0 e pela distributividade:
((-1)+1)cdot u = (-1)cdot u + 1cdot u
Como (( -1)+1)=0 e 1cdot u = u, temos
0cdot u = (-1)cdot u + u
Do Passo 3, 0cdot u=0, então
(-1)cdot u + u = 0,
isto é, (-1)cdot u é o inverso aditivo de u, ou seja
(-1)cdot u = -u

Resposta

a) De u+v=u+w segue v=w. Em particular, u+v=u+0 implica v=0.
b) 0cdot u=0.
c) lambdacdot 0=0.
d) Se lambdaneq0 e uneq0 então lambdacdot uneq0.
e) (-1)cdot u=-u.

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