Como consequência dos axiomas de espaço vetorial, verifique que num espaço vetorial
valem:
a)
. Em particular,
b)
;
c)
d)
e
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, a partir dos axiomas de espaço vetorial sobre um corpo
e um espaço vetorial
, que valem as propriedades de cancelamento, unicidade do zero, e comportamentos especiais da multiplicação escalar com zero, inverso escalar e o escalar
. Vamos usar:
– Existência de elemento neutro aditivo
e inverso aditivo
.
– Propriedades de associatividade e comutatividade da soma em .
– Distributividade da multiplicação escalar: e
.
– Existência de elemento neutro escalar e inversos escalar para
.
– Propriedades de associatividade e comutatividade da soma em
– Distributividade da multiplicação escalar:
– Existência de elemento neutro escalar
Passo 2
Provar que de
segue
.
Adicionamos o inverso aditivo de em ambos os lados:
Adicionamos o inverso aditivo de
Pela associatividade e porque
, obtemos
Em particular, se
, então
.
Passo 3
Provar que
.
Use a distributividade escalar sobre a soma de escalares:
Use a distributividade escalar sobre a soma de escalares:
Como
, isso dá
Aplicando o cancelamento (Passo
) em
em ambos os lados, segue
Passo 4
Provar que
.
Use a distributividade escalar sobre a soma de vetores:
Use a distributividade escalar sobre a soma de vetores:
Como
, obtemos
e, pelo cancelamento,
Passo 5
Provar que se
e
então
.
Suponha, por contradição, que . Como
, existe
em
. Multiplicamos ambos os lados por
:
Suponha, por contradição, que
contradizendo
. Logo
.
Passo 6
Provar que
.
Da soma de escalares e pela distributividade:
Da soma de escalares
Como
e
, temos
Do Passo
,
, então
isto é,
é o inverso aditivo de
, ou seja
Resposta
a) De
segue
. Em particular,
implica
.
b) .
c) .
d) Se e
então
.
e) .
b)
c)
d) Se
e)