a) Verifique que é uma base de ;
b) Verifique que o conjunto
é uma base de .
c) Encontre a matriz de passagem da base para a base .
d) Encontre a matriz de passagem da base para a base .
e) Escrevendo para representar a matriz de passagem da base para a base , e para representar a matriz de passagem da base para a base , verifique que
onde indica a matriz identidade . O que a igualdade (*) nos diz?
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com o espaço , verificar que com , e com , são bases, e então encontrar as matrizes de passagem
mostrar que
e interpretar essa igualdade. O conteúdo é teoria de bases e mudança de base em espaços vetoriais.
Passo 2
Para ver que é base de , basta notar que
Qualquer combinação linear está em por definição, ou seja, gera .
Se para todo , avaliando em dá ; avaliando em dá . Logo só existe combinação trivial, e é LI. Como , concluímos que é base.
Passo 3
Para ver que é base de , escrevemos cada em coordenadas na base :
A matriz de coordenadas de em relação a é
cujo determinante é . Logo é LI e gera , sendo base.
Passo 4
Para achar precisamos escrever cada vetor da base em coordenadas na base .
Procuramos tais que
Igualando coeficientes:
Então
De modo análogo, para existe tais que
de onde e . Logo
As colunas de são essas coordenadas:
Passo 5
Para achar q U^ V escrevemos cada gi em coordenadas na base U. Já vimos:
g1=2,f1+1,f2, g2=0,f1+3,f2
As colunas de q U^ V são l([g1] U,[g2] Ur):
q U^ V = 2&0 1&3
Passo 6
Calculamos
p V^ U,q U^ V =tfrac12&0-tfrac16&tfrac13 2&01&3 =1&00&1=I2,
e
q U^ V,p V^ U =2&01&3 tfrac12&0-tfrac16&tfrac13 =1&00&1=I2
Passo 7
A igualdade
p V^ U,q U^ V =I2 =q U^ V,p V^ U
diz que as matrizes de passagem são inversas uma da outra. Em outras palavras, mudar de U para V e depois voltar retorna as mesmas coordenadas originais, o que confirma que a mudança de base é uma transformação invertível.
Resposta
p V^ U = tfrac12 & 0 -tfrac16 & tfrac13 , q U^ V = 2 & 0 1 & 3 ,
e de fato
p V^ U,q U^ V =I2 =q U^ V,p V^ U,
o que mostra que são matrizes inversas, garantindo a invertibilidade da mudança de base.