Considere o espaço vetorial gerado pelos vetores
f1=sen x e f2=cos x
a) Verifique que U=f1, f2 é uma base de E;
b) Verifique que o conjunto
V=g1, g2, onde g1=2 sen x+cos x e g2=3 cos x
é uma base de E.
c) Encontre a matriz de passagem da base U para a base V.
d) Encontre a matriz de passagem da base V para a base U.
e) Escrevendo pv para representar a matriz de passagem da base U para a base V, e qu para representar a matriz de passagem da base V para a base U, verifique que
pV^U cdot qU^V=I2=qU^V cdot pV^U(*)
onde I2 indica a matriz identidade 2 times 2. O que a igualdade (*) nos diz?

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com o espaço E=spansin x,cos x, verificar que
U=f1,f2 com f1=sin x, f2=cos x e
V=g1,g2 com g1=2sin x+cos x, g2=3cos x são bases, e então encontrar as matrizes de passagem
p V^ U:;[cdot] Uto[cdot] V, q U^ V:;[cdot] Vto[cdot] U,
mostrar que
p V^ U,q U^ V=I2 e q U^ V,p V^ U=I2,
e interpretar essa igualdade. O conteúdo é teoria de bases e mudança de base em espaços vetoriais.

Passo 2

Para ver que U é base de E, basta notar que
  1. Qualquer combinação linear asin x+bcos x está em E por definição, ou seja, U gera E.
  2. Se asin x+bcos xequiv0 para todo x, avaliando em x=0 b=0; avaliando em x=pi/2 a=0. Logo só existe combinação trivial, e U é LI. Como dim E=2, concluímos que U é base.

Passo 3

Para ver que V é base de E, escrevemos cada gi em coordenadas na base U:
g1=2sin x+cos x=2f1+1f2, g2=0sin x+3cos x=0,f1+3f2
A matriz de coordenadas de V em relação a U é
2&01&3,
cujo determinante é 2cdot3-0cdot1=6neq0. Logo g1,g2 é LI e gera E, sendo base.

Passo 4

Para achar p V^ U precisamos escrever cada vetor da base U em coordenadas na base V.
Procuramos alpha,beta tais que
sin x=alpha,g1+beta,g2 =alpha(2sin x+cos x)+beta(3cos x) =(2alpha)sin x+(alpha+3beta)cos x
Igualando coeficientes:
2alpha=1impliesalpha=tfrac12, alpha+3beta=0impliesbeta=-tfrac16
Então
f1=sin x=tfrac12,g1-tfrac16,g2
De modo análogo, para cos x existe gamma,de<a tais que
cos x=gamma,g1+de<a,g2 =(2gamma)sin x+(gamma+3de<a)cos x,
de onde 2gamma=0impliesgamma=0 e gamma+3de<a=1impliesde<a=tfrac13. Logo
f2=cos x=0cdot g1+tfrac13,g2
As colunas de p V^ U são essas coordenadas:
p V^ U = tfrac12 & 0 -tfrac16 & tfrac13

Passo 5

Para achar q U^ V escrevemos cada gi em coordenadas na base U. Já vimos:
g1=2,f1+1,f2, g2=0,f1+3,f2
As colunas de q U^ V são l([g1] U,[g2] Ur):
q U^ V = 2&0 1&3

Passo 6

Calculamos
p V^ U,q U^ V =tfrac12&0-tfrac16&tfrac13 2&01&3 =1&00&1=I2,
e
q U^ V,p V^ U =2&01&3 tfrac12&0-tfrac16&tfrac13 =1&00&1=I2

Passo 7

A igualdade
p V^ U,q U^ V =I2 =q U^ V,p V^ U
diz que as matrizes de passagem são inversas uma da outra. Em outras palavras, mudar de U para V e depois voltar retorna as mesmas coordenadas originais, o que confirma que a mudança de base é uma transformação invertível.

Resposta

p V^ U = tfrac12 & 0 -tfrac16 & tfrac13 , q U^ V = 2 & 0 1 & 3 ,
e de fato
p V^ U,q U^ V =I2 =q U^ V,p V^ U,
o que mostra que são matrizes inversas, garantindo a invertibilidade da mudança de base.

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