Verifique que o conjunto
é um subespaço de
, onde
são subespaços de
.
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
e dois subespaços
e
. Define-se
Para mostrar que
é subespaço de
, precisamos verificar três propriedades: (i) não é vazio, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Não vazio. Como
e
são subespaços, cada um contém o vetor nulo
de
. Portanto
o que garante que
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Sejam
em
, com
e
. Então
Como
e
são subespaços, temos
e
. Logo
.
Passo 4
Fechamento sob escalar. Seja
escalar e
com
,
. Então
Como
e
são subespaços,
e
. Portanto
.
Resposta
Pelo fato de
conter o vetor nulo e ser fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.