Verifique que o conjunto
F1+F2=w1+w2 ; w1 in F1 w2 in F2
é um subespaço de E, onde F1, F2 são subespaços de E.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial E e dois subespaços F1 e F2. Define-se
F1+F2 = ,w1+w2 : w1in F1,;w2in F2,
Para mostrar que F1+F2 é subespaço de E, precisamos verificar três propriedades: (i) não é vazio, (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Não vazio. Como F1 e F2 são subespaços, cada um contém o vetor nulo 0 de E. Portanto
0 = 0 + 0 in F1 + F2,
o que garante que F1+F2neqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma. Sejam
z = z1 + z2, z' = z1' + z2'
em F1+F2, com z1,z1'in F1 e z2,z2'in F2. Então
z + z' = (z1+z2) + (z1'+z2') = (z1+z1') + (z2+z2')
Como F1 e F2 são subespaços, temos z1+z1'in F1 e z2+z2'in F2. Logo z+z'in F1+F2.

Passo 4

Fechamento sob escalar. Seja alpha escalar e z = z1+z2in F1+F2 com z1in F1, z2in F2. Então
alpha z = alpha(z1+z2) = alpha z1 + alpha z2
Como F1 e F2 são subespaços, alpha z1in F1 e alpha z2in F2. Portanto alpha zin F1+F2.

Resposta

Pelo fato de F1+F2 conter o vetor nulo e ser fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que F1+F2 é um subespaço de E.

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