Verifique que se
são subespaços de
, então
é subespaço de
. Porém, verifique que o mesmo não pode ser garantido com a união
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre subespaços de um espaço vetorial
:
- Que a interseção
de dois subespaços é sempre um subespaço de . - Que a união
não precisa ser subespaço, ou seja, em geral falha alguma das propriedades de subespaço.
Para resolver precisamos usar a definição de subespaço: um subconjunto não vazio fechado sob soma e multiplicação por escalares.
Passo 2
Mostrando que
é subespaço de
.
Como e
são subespaços, ambos contêm o vetor zero de
. Logo
Como
portanto a interseção não é vazia.
Agora sejam . Então
e
. Como cada
é fechado sob adição, temos
Agora sejam
Do mesmo modo, para qualquer escalar
,
Assim
satisfaz todas as condições de subespaço.
Passo 3
Exemplo que mostra que
nem sempre é subespaço.
Considere ,
Considere
que são subespaços (eixos
e
). Então
e
. Mas
pois nem está no eixo
nem no eixo
. Logo
não é fechado sob soma e, portanto, não é subespaço.
Resposta
A interseção
de dois subespaços é sempre subespaço de
, pois contém
e é fechada sob soma e multiplicação por escalares. Já a união
não precisa ser subespaço, como mostra o exemplo dos eixos de
.