Verifique que se F1, F2 são subespaços de E, então F1 cap F2 é subespaço de E. Porém, verifique que o mesmo não pode ser garantido com a união F1 cup F2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre subespaços de um espaço vetorial E:
  1. Que a interseção F1cap F2 de dois subespaços F1,F2subseteq E é sempre um subespaço de E.
  2. Que a união F1cup F2 não precisa ser subespaço, ou seja, em geral falha alguma das propriedades de subespaço.
    Para resolver precisamos usar a definição de subespaço: um subconjunto não vazio fechado sob soma e multiplicação por escalares.

Passo 2

Mostrando que F1cap F2 é subespaço de E.
Como F1 e F2 são subespaços, ambos contêm o vetor zero de E. Logo
0in F1 e 0in F2 Longrightarrow 0in F1cap F2,
portanto a interseção não é vazia.
Agora sejam u,vin F1cap F2. Então u,vin F1 e u,vin F2. Como cada Fi é fechado sob adição, temos
u+vin F1 e u+vin F2 Longrightarrow u+vin F1cap F2
Do mesmo modo, para qualquer escalar lambdainK,
lambdauin F1 e lambdauin F2 Longrightarrow lambdauin F1cap F2
Assim F1cap F2 satisfaz todas as condições de subespaço.

Passo 3

Exemplo que mostra que F1cup F2 nem sempre é subespaço.
Considere E=R^2,
F1=(x,0)mid xinR e F2=(0,y)mid yinR,
que são subespaços (eixos x e y). Então
(1,0)in F1subset F1cup F2 e (0,1)in F2subset F1cup F2. Mas
(1,0)+(0,1)=(1,1)notin F1cup F2,
pois nem está no eixo x nem no eixo y. Logo F1cup F2 não é fechado sob soma e, portanto, não é subespaço.

Resposta

A interseção F1cap F2 de dois subespaços é sempre subespaço de E, pois contém 0 e é fechada sob soma e multiplicação por escalares. Já a união F1cup F2 não precisa ser subespaço, como mostra o exemplo dos eixos de R^2.

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