Sabendo que o conjunto
[ll 1 & 0 0 & 0 0 & 0 ],[ll 0 & 1 0 & 0 0 & 0 ],[ll 0 & 0 1 & 0 0 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 0 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 0 1 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 0 0 & 1 ]
é uma base para o espaço vetorial M(3 times 2), das matrizes 3 times 2, verifique se o conjunto
[ll 1 & 2 3 & 4 5 & 6 ],[ll 6 & 5 4 & 3 2 & 1 ],[ll 7 & 7 7 & 7 7 & 7 ],[rr 2 & 1 -3 & 5 1 & 2 ],[ll 2 & 1 2 & 1 2 & 1 ],[rr -1 & 1 2 & -2 3 & 1 ]
é, também, uma base para o espaço M(3 times 2).

Passo 1

O espaço vetorial M(3times2) tem dimensão 6. Qualquer conjunto de 6 matrizes que seja linearmente independente (ou, equivalentemente, que gere todo o espaço) é uma base. Logo, para verificar se o conjunto dado é base, basta checar se ele é linearmente independente.

Passo 2

Denotemos as matrizes do conjunto por
M1=1&23&45&6, M2=6&54&32&1, M3=7&77&77&7,
e M4,M5,M6 as demais. Observe que
7&77&77&7 =1&23&45&6 +6&54&32&1,
ou seja,
M3 = M1 + M2
Isto fornece a combinação linear não trivial
(-1),M3 ;+;1,M1 ;+;1,M2 ;+;0,M4;+;0,M5;+;0,M6 ;=;0,
logo as matrizes são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto não é uma base de M(3times2), pois é linearmente dependente.

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