3. Conservação dos momentos

(a) O momento linear total do sistema é conservado? Como o fato de a barra estar presa a um eixo influencia sua resposta?
(b) O momento angular total do sistema, em relação ao pino, é conservado? Se não for sempre, em quais condições a conservação é válida?
(c) Se possível, reescreva as equações de movimento usando a conservação do momento angular. Essa abordagem fornece alguma vantagem em termos analíticos ou conceituais?

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a conservação do momento linear e do momento angular num sistema que consiste de uma barra presa a um eixo (pino) fixo, e depois explorar se dá para reescrever as equações de movimento usando conservação do momento angular. O conteúdo aqui é a aplicação das leis de conservação de quantidade de movimento e torque em sistemas com vínculo (restrição) de pivô.

Passo 2

Para o momento linear total, escrevemos
\frac{d\mathbf{P}_{\rm tot}}{dt} = \sum\mathbf{F}_{\rm ext}.
No nosso caso, além de possíveis forças peso e contato, há a força de reação do pino. Essa reação é externa ao corpo e, em geral, não é zero. Logo
\sum\mathbf{F}_{\rm ext}\neq \mathbf{0}
e portanto \mathbf{P}_{\rm tot} não é conservado. A presença do pivô introduz uma força de restrição que impede a conservação do momento linear.

Passo 3

Para o momento angular em relação ao pino, usamos
\frac{dL_{O}}{dt} = \sum M_{O,\rm ext},
onde O é o ponto do pino. A reação do pino passa por O, logo seu momento em relação a O é nulo. Se não houver outras torques externas (por exemplo, desprezando peso ou quaisquer outras forças que gerem torque sobre O), então
\sum M_{O,\rm ext}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dL_{O}}{dt}=0.
Assim, o momento angular sobre o pino é conservado sempre que as únicas forças externas tiverem linha de ação passando pelo pino (caso típico sem gravidade ou sem força externa exceto reação).

Passo 4

Podemos então reescrever a equação de movimento rotacional como primeira integral:
L_{O}=I\,\dot\theta = \text{constante},
onde I é o momento de inércia da barra em torno do pino e \theta é o ângulo de rotação. Integrando, obtemos
\dot\theta = \frac{L_{O}}{I} \quad\Longrightarrow\quad \theta(t)=\theta(0)+\frac{L_{O}}{I}\,t.
Esse procedimento reduz a ordem da EDO de segunda para primeira (uma primeira integral), facilitando a análise qualitativa e dando uma solução imediata para \theta(t).

Resposta

(a) Não. A força de reação do pino é externa e faz com que o momento linear total não seja conservado.
(b) Sim, desde que não haja nenhum outro torque externo além da reação no pino (por exemplo, desprezando peso ou forças externas que criem torque sobre o pivô), o momento angular em relação ao pino é conservado.
(c) Reescrevendo a equação rotacional como
\frac{dL_{O}}{dt}=0 \quad\Longrightarrow\quad L_{O}=I\,\dot\theta=\text{constante},
ganhamos um primeiro integral que reduz a equação a \dot\theta= constante, simplificando a solução e a interpretação física.

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