4. Interpretação via centro de massa
(a) Determine a posição do centro de massa do sistema barra + bloco em função de r.
(b) Como a migração do bloco ao longo da barra altera o momento de inércia total do sistema? Há alguma analogia com sistemas com massa variável? Como a variação simultânea do centro de massa e do momento de inércia se manifesta nas equações do movimento?
(b) Como a migração do bloco ao longo da barra altera o momento de inércia total do sistema? Há alguma analogia com sistemas com massa variável? Como a variação simultânea do centro de massa e do momento de inércia se manifesta nas equações do movimento?
Passo 1
O enunciado trata de um sistema composto por uma barra rígida, de massa
e comprimento
, e um bloco de massa
que pode deslizar sem atrito ao longo da barra. Denotamos por
a distância do centro da barra até a posição instantânea do bloco. Pedem:
- (a) a posição do centro de massa do conjunto em função de
. - (b) como essa migração do bloco altera o momento de inércia total do sistema, se há analogia com sistemas de massa variável e de que forma a variação simultânea de centro de massa e momento de inércia aparece nas equações de movimento.
Conteúdos necessários: definição de centro de massa, teorema dos eixos paralelos para momento de inércia, e equação geral do momento angular para corpos com momento de inércia variável.
Passo 2
Calcular a posição do centro de massa relativo ao centro da barra (origem
). A barra, sendo uniforme, tem seu CM em
. O bloco está em
. Logo, definindo
do conjunto:
Passo 3
Avaliar o momento de inércia total em torno de um eixo perpendicular à barra e passando pelo novo CM. Usamos:
-
. - Para o bloco, aplicamos o teorema dos eixos paralelos:
Portanto
que varia com
.
Passo 4
Analogia com massa variável: em foguetes ou sistemas que adicionam/removem massa, tanto a massa total quanto o CM mudam. Aqui, embora a massa total
seja constante, a redistribuição (variação de
) desloca o CM e altera
, tal qual ocorre em um foguete que expele massa e muda seu
instantâneo.
Passo 5
Nas equações de rotação, a variação de
e do CM entra assim:
Aqui
enquanto o bloco se move. Além disso, a equação de translação do CM não é simplesmente
quando há movimento interno que desloca o CM, sendo preciso considerar forças internas que mudam a distribuição.
Resposta
(a)
(b) O momento de inércia em torno do CM fica
(b) O momento de inércia em torno do CM fica
que varia com
. Há analogia com sistemas de massa variável (ex.: foguetes) em que a distribuição de massa muda, deslocando o CM e alterando
. Nas equações de movimento rotacional surge o termo
em
mostrando a influência conjunta de deslocamento do CM e variação de
.