4. Interpretação via centro de massa

(a) Determine a posição do centro de massa do sistema barra + bloco em função de r.
(b) Como a migração do bloco ao longo da barra altera o momento de inércia total do sistema? Há alguma analogia com sistemas com massa variável? Como a variação simultânea do centro de massa e do momento de inércia se manifesta nas equações do movimento?

Passo 1

O enunciado trata de um sistema composto por uma barra rígida, de massa M e comprimento L, e um bloco de massa m que pode deslizar sem atrito ao longo da barra. Denotamos por r a distância do centro da barra até a posição instantânea do bloco. Pedem:
  • (a) a posição do centro de massa do conjunto em função de r.
  • (b) como essa migração do bloco altera o momento de inércia total do sistema, se há analogia com sistemas de massa variável e de que forma a variação simultânea de centro de massa e momento de inércia aparece nas equações de movimento.
Conteúdos necessários: definição de centro de massa, teorema dos eixos paralelos para momento de inércia, e equação geral do momento angular para corpos com momento de inércia variável.

Passo 2

Calcular a posição do centro de massa relativo ao centro da barra (origem x=0). A barra, sendo uniforme, tem seu CM em x_{\rm barra}=0. O bloco está em x_{\rm bloco}=r. Logo, definindo x_{\rm cm} do conjunto:
x_{\rm cm} =\frac{M\cdot 0 + m\cdot r}{M + m} =\frac{m\,r}{M + m}.

Passo 3

Avaliar o momento de inércia total em torno de um eixo perpendicular à barra e passando pelo novo CM. Usamos:
  1. I_{\rm barra,\,CM}=\tfrac{1}{12}M\,L^{2}.
  2. Para o bloco, aplicamos o teorema dos eixos paralelos:
I_{\rm bloco} = m\bigl(r - x_{\rm cm}\bigr)^{2} = m\Bigl(r - \frac{m\,r}{M + m}\Bigr)^{2} = m\Bigl(\frac{M\,r}{M + m}\Bigr)^{2}.
Portanto
I_{\rm total}(r) = \frac{1}{12}M\,L^{2} + m\Bigl(\frac{M\,r}{M + m}\Bigr)^{2},
que varia com r.

Passo 4

Analogia com massa variável: em foguetes ou sistemas que adicionam/removem massa, tanto a massa total quanto o CM mudam. Aqui, embora a massa total M+m seja constante, a redistribuição (variação de r) desloca o CM e altera I, tal qual ocorre em um foguete que expele massa e muda seu I instantâneo.

Passo 5

Nas equações de rotação, a variação de I e do CM entra assim:
\tau_{\rm ext} =\frac{dL}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl[I(r)\,\omega\bigr] = I(r)\,\dot\omega + \dot I(r)\,\omega.
Aqui \dot I(r)=\frac{dI}{dr}\,\dot r\neq 0 enquanto o bloco se move. Além disso, a equação de translação do CM não é simplesmente \sum F = (M+m)\,a_{\rm cm} quando há movimento interno que desloca o CM, sendo preciso considerar forças internas que mudam a distribuição.

Resposta

(a) \displaystyle x_{\rm cm}=\frac{m\,r}{M + m}.
(b) O momento de inércia em torno do CM fica
I_{\rm total}(r) =\frac{1}{12}M\,L^{2} + m\Bigl(\tfrac{M\,r}{M + m}\Bigr)^{2},
que varia com r. Há analogia com sistemas de massa variável (ex.: foguetes) em que a distribuição de massa muda, deslocando o CM e alterando I. Nas equações de movimento rotacional surge o termo \dot I\,\omega em
\tau_{\rm ext} =I\,\dot\omega + \dot I\,\omega,
mostrando a influência conjunta de deslocamento do CM e variação de I.

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