Consider an Hermitian operator F with two eigenvectors |phi1rang<= and |phi2rang<= associated to different eigenvalues, respectively. Let us consider a second operator G which commutes with F.
  • Show that lang<=phi1| G|phi2rang<= is zero.
  • Show that G|phi1rang<= is also an eigenvector to F with the same eigenvalue as |phi1rang<=. That is, if F|phi1rang<==alpha1|phi1rang<=, show that F(G|phi1rang<=)=alpha1 G|phi1rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre operadores hermitianos F e G em um contexto de mecânica quântica. Temos dois autovetores |phi1rang<= e |phi2rang<= de F com autovalores diferentes, e sabe-se que G comuta com F (ou seja, FG = GF). Nosso objetivo é:
  1. Mostrar que lang<=phi1| G|phi2rang<= = 0.
  2. Provar que G|phi1rang<= é também um autovetor de F com o mesmo autovalor que |phi1rang<=.
Vamos precisar usar propriedades de operadores hermitianos, autovetores e a relação de comutação entre operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que lang<=phi1| G|phi2rang<= = 0. Sabemos que se dois operadores comutam, eles compartilham um conjunto de autovetores. Mas aqui, como |phi1rang<= e |phi2rang<= correspondem a autovalores diferentes de F, isso nos dá uma pista importante.
Como F é hermitiano, seus autovetores correspondentes a autovalores diferentes são ortogonais. Além disso, como G comuta com F, podemos usar a relação:
FG|phi2rang<= = GF|phi2rang<= = alpha2G|phi2rang<=
Isso implica que G|phi2rang<= é também um autovetor de F com o mesmo autovalor alpha2. Agora, vamos calcular o produto interno lang<=phi1| G|phi2rang<=:
lang<=phi1| G|phi2rang<= = lang<=phi1| (G|phi2rang<=)
Mas G|phi2rang<= é um múltiplo de |phi2rang<=, e como |phi1rang<= e |phi2rang<= são ortogonais (já que têm autovalores diferentes), o produto interno será zero.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que G|phi1rang<= é um autovetor de F com o mesmo autovalor que |phi1rang<=, ou seja:
F(G|phi1rang<=) = alpha1 G|phi1rang<=
Começamos aplicando F em G|phi1rang<=:
F(G|phi1rang<=) = GF|phi1rang<= (pois FG = GF)
Sabemos que F|phi1rang<= = alpha1|phi1rang<=, então substituindo:
GF|phi1rang<= = G(alpha1|phi1rang<=) = alpha1G|phi1rang<=
Portanto, demonstramos que:
F(G|phi1rang<=) = alpha1 G|phi1rang<=

Resposta

Assim, mostramos que lang<=phi1| G|phi2rang<= = 0 e que G|phi1rang<= é um autovetor de F com o mesmo autovalor alpha1.

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