Consider an Hermitian operator
with two eigenvectors
and
associated to different eigenvalues, respectively. Let us consider a second operator
which commutes with
.
- Show that
is zero.
- Show that
is also an eigenvector to
with the same eigenvalue as
. That is, if
, show that
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre operadores hermitianos
e
em um contexto de mecânica quântica. Temos dois autovetores
e
de
com autovalores diferentes, e sabe-se que
comuta com
(ou seja,
). Nosso objetivo é:
- Mostrar que
. - Provar que
é também um autovetor de com o mesmo autovalor que .
Vamos precisar usar propriedades de operadores hermitianos, autovetores e a relação de comutação entre operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que
. Sabemos que se dois operadores comutam, eles compartilham um conjunto de autovetores. Mas aqui, como
e
correspondem a autovalores diferentes de
, isso nos dá uma pista importante.
Como
é hermitiano, seus autovetores correspondentes a autovalores diferentes são ortogonais. Além disso, como
comuta com
, podemos usar a relação:
Isso implica que
é também um autovetor de
com o mesmo autovalor
. Agora, vamos calcular o produto interno
:
Mas
é um múltiplo de
, e como
e
são ortogonais (já que têm autovalores diferentes), o produto interno será zero.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que
é um autovetor de
com o mesmo autovalor que
, ou seja:
Começamos aplicando
em
:
Sabemos que
, então substituindo:
Portanto, demonstramos que:
Resposta
Assim, mostramos que
e que
é um autovetor de
com o mesmo autovalor
.