An operator
is a projection operator if it is Hermitian and equal to its own square:
and
. A simple example of a projector operator in the unit operator
.
- Show that the product of two commuting operators,
and
, is also a projection operator.
- Show that for a sum of projection operators,
, to be a projection operator, it is necessary and sufficient that the these projection operators be mutually orthogonal. That is, the cross-product terms must vanish.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre operadores de projeção! A questão fala que um operador
é um operador de projeção se ele é Hermitiano (
) e se ele é igual ao seu próprio quadrado (
). Precisamos mostrar duas coisas:
- O produto de dois operadores de projeção que comutam (
e ) também é um operador de projeção. - Para a soma de operadores de projeção ser um operador de projeção, é necessário e suficiente que esses operadores sejam mutuamente ortogonais (ou seja, os termos de cruzamento devem anular).
Para resolver isso, vamos usar propriedades de operadores Hermitianos e de projeção, além de lembrar que comutatividade facilita bastante as coisas.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que o produto de dois operadores de projeção que comutam é também um operador de projeção.
Sabemos que
e
são operadores de projeção, então:
Como eles comutam, ou seja,
, vamos definir
e verificar se
também satisfaz as condições de ser operador de projeção.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se
é Hermitiano:
Então,
é Hermitiano.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é igual ao seu próprio quadrado:
Como
e
comutam:
Então:
E como cada operador de projeção é igual ao seu quadrado:
Portanto:
Assim,
é igual ao seu quadrado.
Passo 5
Como
é Hermitiano e igual ao seu próprio quadrado, concluímos que
é um operador de projeção.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que a soma de operadores de projeção
é um operador de projeção se, e somente se, esses operadores forem mutuamente ortogonais, ou seja, seus produtos cruzados devem ser zero.
Passo 7
Primeiro, suponha que os operadores sejam mutuamente ortogonais:
para
. Vamos chamar a soma total de
.
Vamos verificar se
é Hermitiano e se
.
Passo 8
Como cada
é Hermitiano, a soma de operadores Hermitianos também é Hermitiana:
Então,
é Hermitiano.
Passo 9
Agora, vamos calcular
:
Como os operadores são mutuamente ortogonais, para
,
. Então, apenas os termos com
permanecem:
E como cada operador é idempotente (
):
Então,
.
Passo 10
Agora, vamos a parte necessária e suficiente. Se a soma
é um operador de projeção, então deve satisfazer
. Expandindo:
Para que
, os termos cruzados
devem ser zero, o que implica que os operadores são mutuamente ortogonais.
Resposta
Portanto, mostramos que:
- O produto de dois operadores de projeção que comutam é também um operador de projeção.
- A soma de operadores de projeção é um operador de projeção se e somente se esses operadores forem mutuamente ortogonais, ou seja, seus produtos cruzados são iguais a zero.