An operator P is a projection operator if it is Hermitian and equal to its own square: P=P^dag>=r and P^2=P. A simple example of a projector operator in the unit operator 1𝟙.
  • Show that the product of two commuting operators, P1 and P2, is also a projection operator.
  • Show that for a sum of projection operators, P1+P2+ldots, to be a projection operator, it is necessary and sufficient that the these projection operators be mutually orthogonal. That is, the cross-product terms must vanish.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre operadores de projeção! A questão fala que um operador P é um operador de projeção se ele é Hermitiano ( P = P^dag>=r) e se ele é igual ao seu próprio quadrado ( P^2 = P). Precisamos mostrar duas coisas:
  1. O produto de dois operadores de projeção que comutam ( P1 e P2) também é um operador de projeção.
  2. Para a soma de operadores de projeção ser um operador de projeção, é necessário e suficiente que esses operadores sejam mutuamente ortogonais (ou seja, os termos de cruzamento devem anular).
Para resolver isso, vamos usar propriedades de operadores Hermitianos e de projeção, além de lembrar que comutatividade facilita bastante as coisas.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que o produto de dois operadores de projeção que comutam é também um operador de projeção.
Sabemos que P1 e P2 são operadores de projeção, então:
P1 = P1^dag>=r, P1^2 = P1
P2 = P2^dag>=r, P2^2 = P2
Como eles comutam, ou seja, P1P2 = P2P1, vamos definir Q = P1P2 e verificar se Q também satisfaz as condições de ser operador de projeção.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se Q é Hermitiano:
Q^dag>=r = (P1P2)^dag>=r = P2^dag>=rP1^dag>=r = P2P1 = P1P2 = Q
Então, Q é Hermitiano.

Passo 4

Agora, vamos verificar se Q é igual ao seu próprio quadrado:
Q^2 = (P1P2)(P1P2) = P1(P2P1)P2
Como P1 e P2 comutam:
P2P1 = P1P2
Então:
Q^2 = P1P1P2P2
E como cada operador de projeção é igual ao seu quadrado:
P1^2 = P1, P2^2 = P2
Portanto:
Q^2 = P1P2 = Q
Assim, Q é igual ao seu quadrado.

Passo 5

Como Q é Hermitiano e igual ao seu próprio quadrado, concluímos que Q = P1P2 é um operador de projeção.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte: mostrar que a soma de operadores de projeção P1 + P2 + ldots é um operador de projeção se, e somente se, esses operadores forem mutuamente ortogonais, ou seja, seus produtos cruzados devem ser zero.

Passo 7

Primeiro, suponha que os operadores sejam mutuamente ortogonais: PiPj = 0 para i neq j. Vamos chamar a soma total de P = P1 + P2 + ldots.
Vamos verificar se P é Hermitiano e se P^2 = P.

Passo 8

Como cada Pi é Hermitiano, a soma de operadores Hermitianos também é Hermitiana:
P^dag>=r = ( sumi Pi )^dag>=r = sumi Pi^dag>=r = sumi Pi = P
Então, P é Hermitiano.

Passo 9

Agora, vamos calcular P^2:
P^2 = ( sumi Pi ) ( sumj Pj ) = sumisumj PiPj
Como os operadores são mutuamente ortogonais, para i neq j, PiPj = 0. Então, apenas os termos com i = j permanecem:
P^2 = sumi Pi^2
E como cada operador é idempotente ( Pi^2 = Pi):
P^2 = sumi Pi = P
Então, P^2 = P.

Passo 10

Agora, vamos a parte necessária e suficiente. Se a soma P = sumi Pi é um operador de projeção, então deve satisfazer P^2 = P. Expandindo:
P^2 = sumisumj PiPj = sumi Pi + sumi neq j PiPj
Para que P^2 = P, os termos cruzados sumi neq j PiPj devem ser zero, o que implica que os operadores são mutuamente ortogonais.

Resposta

Portanto, mostramos que:
  1. O produto de dois operadores de projeção que comutam é também um operador de projeção.
  2. A soma de operadores de projeção é um operador de projeção se e somente se esses operadores forem mutuamente ortogonais, ou seja, seus produtos cruzados são iguais a zero.

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