Let us consider the Hamiltonian (non-relativistic) describing the dynamics of a particle in a conservative field, H=P^22 m+V(R). Compute its commutator with the parity operator Pi and with the generator of spatial translations Gs p=P. After that, determine the conditions for H to be invariant under parity and invariant under finite spatial translations.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o Hamiltoniano não-relativístico de uma partícula em um campo conservativo, dado por H = P^22 m + V(R). O conteúdo principal aqui envolve mecânica quântica, especificamente operadores e simetrias como paridade e transferências espaciais. Para resolver, vamos precisar entender comutadores de operadores e as condições para que o Hamiltoniano seja invariante sob essas simetrias.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o comutador do Hamiltoniano H com o operador de paridade Pi. O comutador é definido como [A, B] = AB - BA. Então, temos:
[H, Pi] = [P^22 m + V(R), Pi] = 12m[P^2, Pi] + [V(R), Pi]

Passo 3

Vamos analisar cada termo separadamente. Primeiro, [P^2, Pi]. Sabemos que a paridade inverte a posição e o momento: Pi P Pi = -P. Então,
[P^2, Pi] = P^2Pi - PiP^2 = PPPi - PiPP = P(-PiP) - (-PiP)P = -PPiP + PiP^2 = 0
Porque os termos se anulam.

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo: [V(R), Pi]. A paridade também inverte a posição: Pi R Pi = -R. Então,
[V(R), Pi] = V(R)Pi - PiV(R)
Para que este comutador seja zero, a função potencial V(R) deve satisfazer V(R) = V(-R), ou seja, deve ser paritária.

Passo 5

Agora, vamos calcular o comutador [H, Gsp], onde Gsp = P. Então,
[H, P] = [P^22 m + V(R), P] = 12m[P^2, P] + [V(R), P]

Passo 6

Novamente, vamos analisar cada termo. Primeiro, [P^2, P] = 0, porque qualquer operador com ele mesmo comuta.
Agora, para [V(R), P], usamos a relação [R, P] = ihbar. Então,
[V(R), P] = -ihbar dVdR

Passo 7

Juntando tudo, temos:
[H, P] = -ihbar dVdR
Para que o Hamiltoniano seja invariante sob transferência espacial, esse comutador deve ser zero. Portanto, a derivada do potencial em relação a R deve ser zero, ou seja, V(R) deve ser uma constante.

Resposta

O comutador do Hamiltoniano com o operador de paridade é zero se o potencial V(R) for paritário, ou seja, V(R) = V(-R). Já o comutador com o gerador de transferências espaciais P é -ihbar dVdR. Portanto, para que o Hamiltoniano H seja invariante sob paridade, o potencial deve ser paritário, e para ser invariante sob transferências espaciais finitas, o potencial deve ser constante.

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