Let us consider the Hamiltonian (non-relativistic) describing the dynamics of a particle in a conservative field,
. Compute its commutator with the parity operator
and with the generator of spatial translations
. After that, determine the conditions for
to be invariant under parity and invariant under finite spatial translations.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o Hamiltoniano não-relativístico de uma partícula em um campo conservativo, dado por
. O conteúdo principal aqui envolve mecânica quântica, especificamente operadores e simetrias como paridade e transferências espaciais. Para resolver, vamos precisar entender comutadores de operadores e as condições para que o Hamiltoniano seja invariante sob essas simetrias.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o comutador do Hamiltoniano
com o operador de paridade
. O comutador é definido como
. Então, temos:
Passo 3
Vamos analisar cada termo separadamente. Primeiro,
. Sabemos que a paridade inverte a posição e o momento:
. Então,
Porque os termos se anulam.
Passo 4
Agora, vamos para o segundo termo:
. A paridade também inverte a posição:
. Então,
Para que este comutador seja zero, a função potencial
deve satisfazer
, ou seja, deve ser paritária.
Passo 5
Agora, vamos calcular o comutador
, onde
. Então,
Passo 6
Novamente, vamos analisar cada termo. Primeiro,
, porque qualquer operador com ele mesmo comuta.
Agora, para
, usamos a relação
. Então,
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Para que o Hamiltoniano seja invariante sob transferência espacial, esse comutador deve ser zero. Portanto, a derivada do potencial em relação a
deve ser zero, ou seja,
deve ser uma constante.
Resposta
O comutador do Hamiltoniano com o operador de paridade é zero se o potencial
for paritário, ou seja,
. Já o comutador com o gerador de transferências espaciais
é
. Portanto, para que o Hamiltoniano
seja invariante sob paridade, o potencial deve ser paritário, e para ser invariante sob transferências espaciais finitas, o potencial deve ser constante.