Consider 0.8-cm-diameter hail that is falling freely in atmospheric air at 1 atm and 5^circ C. Determine the terminal velocity of the hail. Take the density of hail to be 910 kg / m^3.

Passo 1

Beleza, então o enunciado manda: temos uma pedra de granizo com diâmetro 0,8 cm, densidade 910 kg/m³, caindo no ar a 1 atm e 5 °C. Queremos a velocidade terminal, isto é, quando peso menos empuxo = força de arrasto. O conteúdo é dinâmica de fluidos: equilíbrio de forças (peso, empuxo, arrasto) e fórmula de arrasto de uma esfera. Vamos precisar de:
  • volume e área da esfera
  • peso (m·g) e empuxo (ρ_ar·V·g)
  • força de arrasto
  • assumir coeficiente de arrasto para esfera

Passo 2

Primeiro, calcula o volume V = pi,d^36 = pi,(0,008)^36 e a área de projeção A = pi,d^24 = pi,(0,008)^24 da esfera.
Diâmetro .
Volume:
Área de projeção (círculo):

Passo 3

Agora, monta as forças:
  1. Peso da esfera:
W = m,g = rhorm granizo,V,g
  1. Empuxo no ar:
E = rhorm ar,V,g
  1. Arrasto em regime estacionário (velocidade terminal FD = tfrac12,rhorm ar,CD,A,vt^2 ):

Passo 4

No terminal, peso menos empuxo iguala arrasto:
W - E = FD Longrightarrow (rhorm granizo - rhorm ar),V,g = tfrac12,rhorm ar,CD,A,vt^2
Isolando vt = raiz2,(rhorm granizo-rhorm ar),V,g rhorm ar,CD,A :
vt = raiz2,g,(rhorm granizo-rhorm ar),(2d/3) rhorm ar,CD
Como , simplifica pra

Passo 5

Bora colocar números:
  • vt = raiz2cdot9,81,(910 - 1,27),(2cdot0,008/3) 1,27cdot0,47 approx raiz95,00,595 approx raiz159,7 approx 12,6 rm m/s
  • a 5 °C ≈ 1{,}27 kg/m³

Resposta

A velocidade terminal do granizo de 0,8 cm é aproximadamente
boxedvt approx 12,6 rm m/s

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