Consider an operator
and its Hermitian conjugate
so that their commutator is given by
. If the actions on
and
on the states
are given by
and
with
calculate the following:
-
and
.
-
and
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre operadores em mecânica quântica, especificamente sobre o operador
e seu conjugado hermitiano
. A gente precisa calcular alguns valores de expectativas usando esses operadores e os estados
. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses operadores agem nos estados e usar as propriedades básicas dos operadores e estados ortonormais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
.
Sabemos que
.
Então, substituindo na expressão:
Como os estados são ortonormais,
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular
.
Sabemos que
.
Então:
E novamente,
. Portanto:
Passo 4
Vamos calcular
.
Primeiro, aplicamos
em
:
Agora, aplicamos
em
:
Então:
Agora, tiramos o valor esperado:
Passo 5
Agora,
.
Primeiro, aplicamos
em
:
Agora, aplicamos
em
:
Então:
Agora, tiramos o valor esperado:
Passo 6
Vamos calcular
.
Primeiro, expandimos o quadrado:
Agora, aplicamos isso ao estado
:
Note que
e
resultam em estados diferentes de
, então seus valores esperados serão zero devido à ortonormalidade. Restam:
Passo 7
Por fim, vamos calcular
.
Primeiro, expandimos o quadrado:
Aplicando ao estado
:
Novamente,
e
dão estados diferentes de
, então seus valores esperados são zero. Restam: