Consider an operator B and its Hermitian conjugate B^dag>=r so that their commutator is given by [B, B^dag>=r]=1. If the actions on B and B^dag>=r on the states |betarang<= are given by B|betarang<==raizbeta|beta-1rang<= and B^dag>=r|betarang<==raizbeta+1|beta+1rang<= with lang<=beta^prime mid betarang<==de calculate the following:
  • lang<=beta| B|beta+1rang<=,lang<=beta+1| B^dag>=r|betarang<=,lang<=beta| B^dag>=r B|betarang<= and lang<=beta| B B^dag>=r|betarang<=.
  • lang<=beta|(B+B^dag>=r)^2|betarang<= and lang<=beta|(B-B^dag>=r)^2|betarang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre operadores em mecânica quântica, especificamente sobre o operador B e seu conjugado hermitiano B^dag>=r. A gente precisa calcular alguns valores de expectativas usando esses operadores e os estados |betarang<=. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses operadores agem nos estados e usar as propriedades básicas dos operadores e estados ortonormais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular lang<=beta| B|beta+1rang<=.
Sabemos que B|beta+1rang<= = raizbeta+1|betarang<=.
Então, substituindo na expressão:
lang<=beta| B|beta+1rang<= = lang<=beta| raizbeta+1|betarang<= = raizbeta+1 lang<=beta|betarang<=
Como os estados são ortonormais, lang<=beta|betarang<= = 1. Então:
lang<=beta| B|beta+1rang<= = raizbeta+1

Passo 3

Agora, vamos calcular lang<=beta+1| B^dag>=r|betarang<=.
Sabemos que B^dag>=r|betarang<= = raizbeta+1|beta+1rang<=.
Então:
lang<=beta+1| B^dag>=r|betarang<= = lang<=beta+1| raizbeta+1|beta+1rang<= = raizbeta+1 lang<=beta+1|beta+1rang<=
E novamente, lang<=beta+1|beta+1rang<= = 1. Portanto:
lang<=beta+1| B^dag>=r|betarang<= = raizbeta+1

Passo 4

Vamos calcular lang<=beta| B^dag>=r B|betarang<=.
Primeiro, aplicamos B em |betarang<=:
B|betarang<= = raizbeta|beta-1rang<=
Agora, aplicamos B^dag>=r em |beta-1rang<=:
B^dag>=r|beta-1rang<= = raizbeta|betarang<=
Então:
B^dag>=r B|betarang<= = raizbeta cdot raizbeta |betarang<= = beta |betarang<=
Agora, tiramos o valor esperado:
lang<=beta| B^dag>=r B|betarang<= = beta lang<=beta|betarang<= = beta

Passo 5

Agora, lang<=beta| B B^dag>=r|betarang<=.
Primeiro, aplicamos B^dag>=r em |betarang<=:
B^dag>=r|betarang<= = raizbeta+1|beta+1rang<=
Agora, aplicamos B em |beta+1rang<=:
B|beta+1rang<= = raizbeta+1|betarang<=
Então:
B B^dag>=r|betarang<= = raizbeta+1 cdot raizbeta+1 |betarang<= = (beta+1) |betarang<=
Agora, tiramos o valor esperado:
lang<=beta| B B^dag>=r|betarang<= = (beta+1) lang<=beta|betarang<= = beta + 1

Passo 6

Vamos calcular lang<=beta| (B + B^dag>=r)^2 |betarang<=.
Primeiro, expandimos o quadrado:
(B + B^dag>=r)^2 = B^2 + B B^dag>=r + B^dag>=r B + (B^dag>=r)^2
Agora, aplicamos isso ao estado |betarang<=:
lang<=beta| (B^2 + B B^dag>=r + B^dag>=r B + (B^dag>=r)^2) |betarang<=
Note que B^2|betarang<= e (B^dag>=r)^2|betarang<= resultam em estados diferentes de |betarang<=, então seus valores esperados serão zero devido à ortonormalidade. Restam:
lang<=beta| B B^dag>=r |betarang<= + lang<=beta| B^dag>=r B |betarang<= = (beta + 1) + beta = 2beta + 1

Passo 7

Por fim, vamos calcular lang<=beta| (B - B^dag>=r)^2 |betarang<=.
Primeiro, expandimos o quadrado:
(B - B^dag>=r)^2 = B^2 - B B^dag>=r - B^dag>=r B + (B^dag>=r)^2
Aplicando ao estado |betarang<=:
lang<=beta| (B^2 - B B^dag>=r - B^dag>=r B + (B^dag>=r)^2) |betarang<=
Novamente, B^2|betarang<= e (B^dag>=r)^2|betarang<= dão estados diferentes de |betarang<=, então seus valores esperados são zero. Restam:
- lang<=beta| B B^dag>=r |betarang<= - lang<=beta| B^dag>=r B |betarang<= = -(beta + 1) - beta = -2beta - 1

Resposta

lang<=beta| B|beta+1rang<= &= raizbeta + 1 lang<=beta+1| B^dag>=r|betarang<= &= raizbeta + 1 lang<=beta| B^dag>=r B|betarang<= &= beta lang<=beta| B B^dag>=r|betarang<= &= beta + 1 lang<=beta| (B + B^dag>=r)^2 |betarang<= &= 2beta + 1 lang<=beta| (B - B^dag>=r)^2 |betarang<= &= -2beta - 1

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