Show that F(A)=e^alpha A=1 cosh (alpha)+A sinh (alpha)𝟙 and F(A)=e^i alpha A=1 cos (alpha)+i A sin (alpha)𝟙 if the operator A obeys the property A^2=1𝟙.

Passo 1

Vamos provar duas identidades envolvendo o operador $ \hat{A} $ que satisfaz $ \hat{A}^2 = \mathbb{1} $. Especificamente, queremos mostrar que:
A 𝟙
e
A^2 = 1 𝟙
Para isso, vamos usar séries de Taylor para exponenciais, funções hiperbólicas e trigonométricas, aproveitando a propriedade especial do operador $ \hat{A} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir a exponencial de um operador. A série de Taylor para $ e^{\alpha \hat{A}} $ é:
e^alpha A 𝟙
Aqui, $ \mathbb{1} $ representa o operador identidade.

Passo 3

Como $ \hat{A}^2 = \mathbb{1} $, podemos simplificar as potências de $ \hat{A} $:
A^2 = 1 𝟙
A 𝟙𝟙
E assim por diante. Percebe-se que as potências de $ \hat{A} $ alternam entre $ \hat{A} $ e $ \mathbb{1} $.

Passo 4

Substituindo essas simplificações na série de Taylor, temos:
e^alpha A = 1 + alpha A + alpha^2 12! + alpha^3 A3! + alpha^4 14! + dots 𝟙𝟙𝟙

Passo 5

Vamos separar os termos que contêm $ \mathbb{1} $ dos que contêm $ \hat{A} $:
1 𝟙

Passo 6

Observamos que as séries dentro dos parênteses correspondem às funções hiperbólicas:
cosh(alpha) = 1 + alpha^22! + alpha^44! + dots
sinh(alpha) = alpha + alpha^33! + alpha^55! + dots
Portanto, podemos reescrever a expressão anterior usando essas funções.

Passo 7

Assim, chegamos à identidade desejada:
e^alpha A = 1 cosh(alpha) + A sinh(alpha) 𝟙

Passo 8

Para a segunda parte, consideramos a exponencial complexa $ e^{i \alpha \hat{A}} $. Usando a série de Taylor para funções trigonométricas:
e^i alpha A
cos(alpha) = 1 - alpha^22! + alpha^44! - dots
E seguindo um processo semelhante ao anterior, substituímos na série de $ e^{i \alpha \hat{A}} $:
sin(alpha) = alpha - alpha^33! + alpha^55! - dots 𝟙

Resposta

Portanto, mostramos que:
e^alpha A = 1 cosh(alpha) + A sinh(alpha) 𝟙
e
e^i alpha A = 1 cos(alpha) + i A sin(alpha) 𝟙
quando o operador $ \hat{A} $ satisfaz $ \hat{A}^2 = \mathbb{1} $.

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