Show that
and
if the operator
obeys the property
.
Passo 1
Vamos provar duas identidades envolvendo o operador $ \hat{A} $ que satisfaz $ \hat{A}^2 = \mathbb{1} $. Especificamente, queremos mostrar que:
e
Para isso, vamos usar séries de Taylor para exponenciais, funções hiperbólicas e trigonométricas, aproveitando a propriedade especial do operador $ \hat{A} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir a exponencial de um operador. A série de Taylor para $ e^{\alpha \hat{A}} $ é:
Aqui, $ \mathbb{1} $ representa o operador identidade.
Passo 3
Como $ \hat{A}^2 = \mathbb{1} $, podemos simplificar as potências de $ \hat{A} $:
E assim por diante. Percebe-se que as potências de $ \hat{A} $ alternam entre $ \hat{A} $ e $ \mathbb{1} $.
Passo 4
Substituindo essas simplificações na série de Taylor, temos:
Passo 5
Vamos separar os termos que contêm $ \mathbb{1} $ dos que contêm $ \hat{A} $:
Passo 6
Observamos que as séries dentro dos parênteses correspondem às funções hiperbólicas:
Portanto, podemos reescrever a expressão anterior usando essas funções.
Passo 7
Assim, chegamos à identidade desejada:
Passo 8
Para a segunda parte, consideramos a exponencial complexa $ e^{i \alpha \hat{A}} $. Usando a série de Taylor para funções trigonométricas:
E seguindo um processo semelhante ao anterior, substituímos na série de $ e^{i \alpha \hat{A}} $:
Resposta
Portanto, mostramos que:
e
quando o operador $ \hat{A} $ satisfaz $ \hat{A}^2 = \mathbb{1} $.