Show that the eigenvalues of a unitary operator U (with U U^dag>=r=U^dag>=r U=1𝟙 ) are complex of module equal to one. Further, demonstrate that the eigenvectors of U that has no degenerate eigenvalues are mutually orthogonal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar duas coisas sobre um operador unitário U, que satisfaz U U^dag>=r = U^dag>=r U = 1𝟙. Primeiro, temos que provar que os valores próprios (eigenvalues) desse operador são números complexos com módulo igual a um. Depois, precisamos demonstrar que, se os valores próprios não são degenerados (ou seja, cada valor próprio está associado a apenas um vetor próprio), então os vetores próprios correspondentes são mutuamente ortogonais. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um operador unitário. Um operador U é unitário se satisfaz U U^dag>=r = 1𝟙, onde U^dag>=r é o adjunto (ou conjugado transposto) de U, e 1𝟙 é o operador identidade. Essa propriedade implica que U preserva os comprimentos dos vetores, ou seja, é uma transformação que não altera a magnitude dos vetores no espaço.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que os valores próprios de U têm módulo igual a um. Seja |psirang<= um vetor próprio de U com valor próprio lambda, ou seja:
U |psirang<= = lambda |psirang<=
Vamos calcular o módulo de lambda. Primeiro, aplicamos o adjunto de U na equação acima:
U^dag>=r U |psirang<= = U^dag>=r (lambda |psirang<=) = lambda U^dag>=r |psirang<=
Como U é unitário, U^dag>=r U = 1𝟙:
1 |psirang<= = lambda U^dag>=r |psirang<= 𝟙
Isso simplifica para:
|psirang<= = lambda U^dag>=r |psirang<=
Agora, vamos calcular o produto interno lang<= psi | psi rang<=:
lang<= psi | psi rang<= = lang<= psi | lambda U^dag>=r |psirang<= = lambda lang<= psi | U^dag>=r |psirang<=
Porém, como U é unitário, lang<= psi | U^dag>=r |psirang<= = lang<= U psi | psi rang<= = lambda lang<= psi | psi rang<=.
Então, temos:
lang<= psi | psi rang<= = lambda cdot lambda^* lang<= psi | psi rang<=
Onde lambda^* é o conjugado de lambda. Dividindo ambos os lados por lang<= psi | psi rang<= (que é diferente de zero, já que |psirang<= é um vetor próprio não nulo):
1 = |lambda|^2
Portanto, |lambda| = 1.

Passo 4

Agora, vamos demonstrar que os vetores próprios de U com valores próprios não degenerados são mutuamente ortogonais. Suponha que |psiirang<= e |psijrang<= sejam dois vetores próprios distintos de U com valores próprios lambdai e lambdaj, respectivamente, onde lambdai neq lambdaj.
Vamos considerar o produto interno lang<= psii | psij rang<= e aplicar o operador U:
U |psijrang<= = lambdaj |psijrang<=
Tomando o adjunto:
lang<= psii | U^dag>=r = lambdaj^* lang<= psii |
Agora, calculemos lang<= psii | U^dag>=r U | psij rang<= de duas maneiras:
Primeiro, usando que U^dag>=r U = 1𝟙:
lang<= psii | 1 | psij rang<= = lang<= psii | psij rang<= 𝟙
Segundo, usando as propriedades dos vetores próprios:
lang<= psii | U^dag>=r U | psij rang<= = lambdaj lang<= psii | U^dag>=r | psij rang<= = lambdaj lambdai^* lang<= psii | psij rang<=
Igualando as duas expressões:
lang<= psii | psij rang<= = lambdaj lambdai^* lang<= psii | psij rang<=
Se lambdaj lambdai^* neq 1, então a única solução possível é lang<= psii | psij rang<= = 0, ou seja, os vetores são ortogonais.
Como as $ \lambda_i $ são de módulo 1 e são distintas (não degeneradas), temos que lambdai , garantindo a ortogonalidade dos vetores próprios.

Resposta

Mostramos que os valores próprios de um operador unitário têm módulo igual a um e que, quando não são degenerados, os vetores próprios correspondentes são mutuamente ortogonais.

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