Show that the eigenvalues of a unitary operator
(with
) are complex of module equal to one. Further, demonstrate that the eigenvectors of
that has no degenerate eigenvalues are mutually orthogonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar duas coisas sobre um operador unitário
, que satisfaz
. Primeiro, temos que provar que os valores próprios (eigenvalues) desse operador são números complexos com módulo igual a um. Depois, precisamos demonstrar que, se os valores próprios não são degenerados (ou seja, cada valor próprio está associado a apenas um vetor próprio), então os vetores próprios correspondentes são mutuamente ortogonais. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um operador unitário. Um operador
é unitário se satisfaz
, onde
é o adjunto (ou conjugado transposto) de
, e
é o operador identidade. Essa propriedade implica que
preserva os comprimentos dos vetores, ou seja, é uma transformação que não altera a magnitude dos vetores no espaço.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que os valores próprios de
têm módulo igual a um. Seja
um vetor próprio de
com valor próprio
, ou seja:
Vamos calcular o módulo de
. Primeiro, aplicamos o adjunto de
na equação acima:
Como
é unitário,
:
Isso simplifica para:
Agora, vamos calcular o produto interno
:
Porém, como
é unitário,
.
Então, temos:
Onde
é o conjugado de
. Dividindo ambos os lados por
(que é diferente de zero, já que
é um vetor próprio não nulo):
Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos demonstrar que os vetores próprios de
com valores próprios não degenerados são mutuamente ortogonais. Suponha que
e
sejam dois vetores próprios distintos de
com valores próprios
e
, respectivamente, onde
.
Vamos considerar o produto interno
e aplicar o operador
:
Tomando o adjunto:
Agora, calculemos
de duas maneiras:
Primeiro, usando que
:
Segundo, usando as propriedades dos vetores próprios:
Igualando as duas expressões:
Se
, então a única solução possível é
, ou seja, os vetores são ortogonais.
Como as $ \lambda_i $ são de módulo 1 e são distintas (não degeneradas), temos que
, garantindo a ortogonalidade dos vetores próprios.
Resposta
Mostramos que os valores próprios de um operador unitário têm módulo igual a um e que, quando não são degenerados, os vetores próprios correspondentes são mutuamente ortogonais.