The adjoint (or conjugate) of a operator A is denoted by A^dag>=r. A basic property of the adjoint of an operator is lang<=psi| A^dag>=r|phirang<==lang<=phi| A|psirang<=^*. Derive the following properties:
(A^dag>=r)^dag>=r & =A (alpha A)^dag>=r & =alpha^* A^dag>=r, alpha in C (A+B)^dag>=r & =A^dag>=r+B^dag>=r (A B)^dag>=r & =B^dag>=r A^dag>=r

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o adjunto (ou conjugado) de um operador, que a gente denota por A^dag>=r. A propriedade básica que nos é dada é:
lang<=psi| A^dag>=r|phirang<= = lang<=phi| A|psirang<=^*
Aqui, lang<= psi | e |phi rang<= são vetores de um espaço de Hilbert, e o asterisco significa o conjugado complexo. Nosso objetivo é derivar algumas propriedades desse adjunto, especificamente:
  1. (A^dag>=r)^dag>=r = A
  2. (alpha A)^dag>=r = alpha^* A^dag>=r, onde alpha é um número complexo
  3. (A + B)^dag>=r = A^dag>=r + B^dag>=r
  4. (A B)^dag>=r = B^dag>=r A^dag>=r
Vamos resolver cada uma dessas propriedades passo a passo!

Passo 2

Vamos começar com a primeira propriedade: (A^dag>=r)^dag>=r = A.
Pense no adjunto A^dag>=r como uma espécie de “espelho” do operador A. Quando aplicamos o adjunto duas vezes, estamos essencialmente “virando o espelho duas vezes”, o que nos traz de volta ao operador original.
Matematicamente, usamos a definição básica:
lang<=psi| A^dag>=r|phirang<= = lang<=phi| A|psirang<=^*
Aplicando o adjunto novamente:
lang<=phi| (A^dag>=r)^dag>=r |psirang<= = lang<=psi| A^dag>=r |phirang<=^*
Substituindo pela definição original:
lang<=phi| (A^dag>=r)^dag>=r |psirang<= = ( lang<=phi| A |psirang<=^* )^* = lang<=phi| A |psirang<=
Como isso é válido para quaisquer vetores lang<=phi| e |psirang<=, concluímos que:
(A^dag>=r)^dag>=r = A

Passo 3

Agora, vamos para a segunda propriedade: (alpha A)^dag>=r = alpha^* A^dag>=r, onde alpha é um número complexo.
Aqui, estamos lidando com a multiplicação de um operador por um escalar complexo. A ideia é que o adjunto “reage” de forma conjugada aos escalares.
Começamos aplicando a definição do adjunto ao operador alpha A:
lang<=psi| (alpha A)^dag>=r |phirang<= = lang<=phi| alpha A |psirang<=^*
Sabemos que multiplicar um operador por um escalar fica:
lang<=phi| alpha A |psirang<= = alpha lang<=phi| A |psirang<=
Então, o lado direito fica:
(alpha lang<=phi| A |psirang<=)^* = alpha^* lang<=phi| A |psirang<=^*
Mas, pela definição do adjunto de A:
lang<=phi| A |psirang<=^* = lang<=psi| A^dag>=r |phirang<=
Portanto:
lang<=psi| (alpha A)^dag>=r |phirang<= = alpha^* lang<=psi| A^dag>=r |phirang<=
Como isso vale para quaisquer lang<=psi| e |phirang<=, concluímos que:
(alpha A)^dag>=r = alpha^* A^dag>=r

Passo 4

Vamos para a terceira propriedade: (A + B)^dag>=r = A^dag>=r + B^dag>=r.
Aqui, estamos somando dois operadores e querendo saber como o adjunto dessa soma se comporta.
Começamos aplicando a definição do adjunto à soma A + B:
lang<=psi| (A + B)^dag>=r |phirang<= = lang<=phi| (A + B) |psirang<=^*
Expandindo a soma dentro do produto escalar:
lang<=phi| (A + B) |psirang<= = lang<=phi| A |psirang<= + lang<=phi| B |psirang<=
Tomando o conjugado complexo:
(lang<=phi| A |psirang<= + lang<=phi| B |psirang<=)^* = lang<=phi| A |psirang<=^* + lang<=phi| B |psirang<=^*
Usando a definição do adjunto para cada termo:
= lang<=psi| A^dag>=r |phirang<= + lang<=psi| B^dag>=r |phirang<=
Isso é igual a:
lang<=psi| (A^dag>=r + B^dag>=r) |phirang<=
Como isso é válido para quaisquer lang<=psi| e |phirang<=, concluímos que:
(A + B)^dag>=r = A^dag>=r + B^dag>=r

Passo 5

Finalmente, vamos derivar a quarta propriedade: (A B)^dag>=r = B^dag>=r A^dag>=r.
Aqui, estamos lidando com o produto de dois operadores e queremos saber como o adjunto do produto se relaciona com os adjuntos individuais.
Começamos aplicando a definição do adjunto ao produto A B:
lang<=psi| (A B)^dag>=r |phirang<= = lang<=phi| A B |psirang<=^*
Vamos analisar o lado direito. Primeiro, aplicamos B em |psirang<= e depois A no resultado:
lang<=phi| A B |psirang<= = lang<=phi| A ( B |psirang<= )
Tomando o conjugado complexo:
(lang<=phi| A B |psirang<=)^* = lang<=phi| A B |psirang<=^*
Agora, usando a definição do adjunto para o operador A:
lang<=phi| A B |psirang<=^* = lang<= A B psi | phi rang<=^* = lang<= phi | (A B)^dag>=r | psi rang<=
Mas queremos expressar isso em termos dos adjuntos individuais. Observamos que:
(A B)^dag>=r = B^dag>=r A^dag>=r
Isso porque, na operação de adjunto, a ordem dos operadores é invertida e cada operador é substituído pelo seu adjunto. Portanto, temos:
lang<=psi| (A B)^dag>=r |phirang<= = lang<=psi| B^dag>=r A^dag>=r |phirang<=
Como isso vale para quaisquer lang<=psi| e |phirang<=, concluímos que:
(A B)^dag>=r = B^dag>=r A^dag>=r

Resposta

Derivamos que:
  1. (A^dag>=r)^dag>=r = A
  2. (alpha A)^dag>=r = alpha^* A^dag>=r
  3. (A+B)^dag>=r =A^dag>=r+B^dag>=r
  4. (A B)^dag>=r =B^dag>=r A^dag>=r

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