The adjoint (or conjugate) of a operator
is denoted by
. A basic property of the adjoint of an operator is
. Derive the following properties:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o adjunto (ou conjugado) de um operador, que a gente denota por
. A propriedade básica que nos é dada é:
Aqui,
e
são vetores de um espaço de Hilbert, e o asterisco significa o conjugado complexo. Nosso objetivo é derivar algumas propriedades desse adjunto, especificamente:
-
-
, onde é um número complexo -
-
Vamos resolver cada uma dessas propriedades passo a passo!
Passo 2
Vamos começar com a primeira propriedade:
.
Pense no adjunto
como uma espécie de “espelho” do operador
. Quando aplicamos o adjunto duas vezes, estamos essencialmente “virando o espelho duas vezes”, o que nos traz de volta ao operador original.
Matematicamente, usamos a definição básica:
Aplicando o adjunto novamente:
Substituindo pela definição original:
Como isso é válido para quaisquer vetores
e
, concluímos que:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda propriedade:
, onde
é um número complexo.
Aqui, estamos lidando com a multiplicação de um operador por um escalar complexo. A ideia é que o adjunto “reage” de forma conjugada aos escalares.
Começamos aplicando a definição do adjunto ao operador
:
Sabemos que multiplicar um operador por um escalar fica:
Então, o lado direito fica:
Mas, pela definição do adjunto de
:
Portanto:
Como isso vale para quaisquer
e
, concluímos que:
Passo 4
Vamos para a terceira propriedade:
.
Aqui, estamos somando dois operadores e querendo saber como o adjunto dessa soma se comporta.
Começamos aplicando a definição do adjunto à soma
:
Expandindo a soma dentro do produto escalar:
Tomando o conjugado complexo:
Usando a definição do adjunto para cada termo:
Isso é igual a:
Como isso é válido para quaisquer
e
, concluímos que:
Passo 5
Finalmente, vamos derivar a quarta propriedade:
.
Aqui, estamos lidando com o produto de dois operadores e queremos saber como o adjunto do produto se relaciona com os adjuntos individuais.
Começamos aplicando a definição do adjunto ao produto
:
Vamos analisar o lado direito. Primeiro, aplicamos
em
e depois
no resultado:
Tomando o conjugado complexo:
Agora, usando a definição do adjunto para o operador
:
Mas queremos expressar isso em termos dos adjuntos individuais. Observamos que:
Isso porque, na operação de adjunto, a ordem dos operadores é invertida e cada operador é substituído pelo seu adjunto. Portanto, temos:
Como isso vale para quaisquer
e
, concluímos que:
Resposta
Derivamos que: