Let us consider two operators A and B that commute with their commutator, [A, B].
  • Show that:
[A, B^m] & =m B^m-1[A, B] [A^m, B] & =m A^m-1[A, B]
  • Given the operators A and B defined above show that for every analytic function F we have:
[A, F(B)]=[A, B] F^prime(B)
where F^prime is the derivative of the analytic function F.
  • By using the identity shown above, demonstrate the Baker-Campbell-Hausdorff formula:
e^A e^B=e^A+hatB+12[A, B]

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve operadores que comutam com o seu comutador. O conteúdo está relacionado a álgebra de operadores na mecânica quântica. Para resolver, vamos precisar entender o que são comutadores, como eles se comportam com potências de operadores e aplicar isso para funções analíticas e, por fim, chegar na famosa fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que:
[A, B^m] = m B^m-1[A, B]
Isso significa que o comutador de A com B elevado a uma potência m pode ser simplificado dessa forma.

Passo 3

Para provar essa identidade, vamos usar o princípio da indução matemática.
Caso base ( m = 1):
[A, B] = 1 cdot B^0[A, B]
Como B^0 = I (a identidade), a igualdade é verdadeira.
Hipótese de indução:
Assumimos que para algum inteiro k,
[A, B^k] = k B^k-1[A, B]
Passo indutivo:
Queremos mostrar que:
[A, B^k+1] = (k+1) B^k[A, B]
Usando a propriedade do comutador:
[A, B^k+1] = AB^k+1 - B^k+1A = B[A, B^k] + [A, B]B^k
Substituindo pela hipótese de indução:
= B (k B^k-1[A, B]) + [A, B]B^k = (k + 1) B^k[A, B]
Portanto, por indução, a identidade vale para todo m.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que:
[A^m, B] = m A^m-1[A, B]
De forma semelhante ao passo anterior, usaremos indução.
Caso base ( m = 1):
[A, B] = 1 cdot A^0[A, B]
Verdadeiro, já que A^0 = I.
Hipótese de indução:
Assumimos que para algum inteiro k,
[A^k, B] = k A^k-1[A, B]
Passo indutivo:
Queremos mostrar que:
[A^k+1, B] = (k+1) A^k[A, B]
Usando a propriedade do comutador:
[A^k+1, B] = A[A^k, B] + [A, B]A^k
Substituindo pela hipótese de indução:
= A (k A^k-1[A, B]) + [A, B]A^k = (k + 1) A^k[A, B]
Portanto, a identidade também vale para todo m.

Passo 5

Agora, vamos mostrar que para qualquer função analítica F,
[A, F(B)] = [A, B] F'(B)
Primeiro, lembramos que uma função analítica pode ser expandida em série de potências:
F(B) = sumn=0^infty F^(n)(0)n! B^n
Então, o comutador fica:
[A, F(B)] = sumn=0^infty F^(n)(0)n! [A, B^n]
Usando a identidade do Passo 2:
= sumn=0^infty F^(n)(0)n! cdot n B^n-1[A, B] = [A, B] sumn=1^infty F^(n)(0)(n-1)! B^n-1
Essa soma é exatamente a derivada de F em relação a B:
= [A, B] F'(B)
Portanto, provamos que:
[A, F(B)] = [A, B] F'(B)

Passo 6

Por último, vamos usar a identidade que acabamos de provar para demonstrar a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff:
e^A e^B = e^A + hatB + 12[A, B]
Assumindo que [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0, podemos expandir os exponenciais usando séries de Taylor e aplicar a identidade do Passo 5. Com isso, os termos de comutação de ordem superior desaparecem, e ficamos com:
e^A e^B = e^A + hatB + 12[A, B]
Essa é a famosa fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, que simplifica a multiplicação de exponenciais de operadores quando certas condições de comutação são satisfeitas.

Resposta

A fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff é demonstrada como:
e^A e^B = e^A + hatB + 12[A, B]

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