Let us consider two operators
and
that commute with their commutator,
.
- Show that:
- Given the operators
and
defined above show that for every analytic function
we have:
where
is the derivative of the analytic function
.
- By using the identity shown above, demonstrate the Baker-Campbell-Hausdorff formula:
Passo 1
Vamos resolver um exercício que envolve operadores que comutam com o seu comutador. O conteúdo está relacionado a álgebra de operadores na mecânica quântica. Para resolver, vamos precisar entender o que são comutadores, como eles se comportam com potências de operadores e aplicar isso para funções analíticas e, por fim, chegar na famosa fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que:
Isso significa que o comutador de
com
elevado a uma potência
pode ser simplificado dessa forma.
Passo 3
Para provar essa identidade, vamos usar o princípio da indução matemática.
Caso base (
):
Como
(a identidade), a igualdade é verdadeira.
Hipótese de indução:
Assumimos que para algum inteiro ,
Assumimos que para algum inteiro
Passo indutivo:
Queremos mostrar que:
Queremos mostrar que:
Usando a propriedade do comutador:
Substituindo pela hipótese de indução:
Portanto, por indução, a identidade vale para todo
.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que:
De forma semelhante ao passo anterior, usaremos indução.
Caso base (
):
Verdadeiro, já que
.
Hipótese de indução:
Assumimos que para algum inteiro ,
Assumimos que para algum inteiro
Passo indutivo:
Queremos mostrar que:
Queremos mostrar que:
Usando a propriedade do comutador:
Substituindo pela hipótese de indução:
Portanto, a identidade também vale para todo
.
Passo 5
Agora, vamos mostrar que para qualquer função analítica
,
Primeiro, lembramos que uma função analítica pode ser expandida em série de potências:
Então, o comutador fica:
Usando a identidade do Passo 2:
Essa soma é exatamente a derivada de
em relação a
:
Portanto, provamos que:
Passo 6
Por último, vamos usar a identidade que acabamos de provar para demonstrar a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff:
Assumindo que
, podemos expandir os exponenciais usando séries de Taylor e aplicar a identidade do Passo 5. Com isso, os termos de comutação de ordem superior desaparecem, e ficamos com:
Essa é a famosa fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, que simplifica a multiplicação de exponenciais de operadores quando certas condições de comutação são satisfeitas.
Resposta
A fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff é demonstrada como: