Consider a particle subjected to a central potential having the following normalized wavefunction in spherical coordinates:
Psi(r)=[1raiz5 Y11(theta, varphi)-15 Y1-1(theta, varphi)+1raiz2 Y10(theta, varphi)] R(r)
  • Evaluate the expectation values of the operators Lx, Ly, Lz and L^2 in this state.
  • Obtain the expected value of the quantity V(theta)=2 cos ^2(theta) in this state.
  • Calculate the probability that the particle will be found in the state mell=0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma função de onda normalizada para uma partícula submetida a um potencial central, dada em coordenadas esféricas. A função de onda é uma combinação linear de harmônicos esféricos $ Y_{\ell m}(\theta, \varphi) $ com diferentes valores de $ m Yell m(theta, varphi) úé \hat{L}_x $, $ \hat{L}_y $, $ \hat{L}_z $, e $ \hat{L}^2 $), valores esperados desses operadores e probabilidades associadas aos estados quânticos. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades dos harmônicos esféricos e dos operadores de momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores esperados dos operadores de momento angular $ \hat{L}_x $, $ \hat{L}_y $, $ \hat{L}_z $ e $ \hat{L}^2 $ no estado dado. Sabemos que os harmônicos esféricos são autovalores dos operadores $ \hat{L}^2 $ e $ \hat{L}_z $, ou seja:
Lx
Ly
Para os operadores $ \hat{L}_x $ e $ \hat{L}_y $, a expectativa será zero devido à ortogonalidade dos harmônicos esféricos com diferentes $ m $.

Passo 3

Vamos calcular $ \langle \hat{L}z \rangle $. A função de onda é uma superposição linear de diferentes $ Y{\ell m} $. Como $ \hat{L}z $ atua apenas sobre $ Y{\ell m} $ trazendo $ \hbar m $, temos:
lang<= Lz rang<=
Portanto, $ \langle \hat{L}_z \rangle = 0 $.

Passo 4

Para $ \langle \hat{L}_x \rangle $ e $ \langle \hat{L}_y \rangle $, sabemos que esses operadores conectam estados com diferentes $ m $. Devido à ortogonalidade dos harmônicos esféricos para $ m $ diferentes, a expectativa desses operadores será zero:
lang<= Lx rang<=
lang<= Ly rang<=

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \langle \hat{L}^2 \rangle $. Como $ \hat{L}^2 $ age sobre cada harmônico esférico multiplicando pelo fator $ \hbar^2 \ell(\ell + 1) $ e todos os termos na função de onda têm $ \ell = 1 $:
lang<= L^2 rang<=

Passo 6

Para encontrar o valor esperado de $ V(\theta) = 2\cos^2\theta $ no estado dado, usamos a definição de valor esperado:
V(theta) = 2cos^2theta
Essa integral pode ser simplificada usando propriedades de harmônicos esféricos e a relação $ \cos\theta = Y_{10} $. Após os cálculos, obtemos:
lang<= V(theta) rang<= = integral Psi^* V(theta) Psi , dtau

Passo 7

Finalmente, para calcular a probabilidade de encontrar a partícula no estado $ m_{\ell} = 0 $, observamos os coeficientes na função de onda correspondente a $ Y_{\ell 0} $. A probabilidade é o quadrado do módulo desse coeficiente:
mell = 0

Resposta

lang<= Lx rang<= &= 0 lang<= Ly rang<= &= 0 lang<= Lz rang<= &= 0 lang<= L^2 rang<= &= 2hbar^2 lang<= V(theta) rang<= &= 45 P(mell = 0) &= 12

Exercícios relacionados