Consider a particle subjected to a central potential having the following normalized wavefunction in spherical coordinates:
- Evaluate the expectation values of the operators
and
in this state.
- Obtain the expected value of the quantity
in this state.
- Calculate the probability that the particle will be found in the state
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos uma função de onda normalizada para uma partícula submetida a um potencial central, dada em coordenadas esféricas. A função de onda é uma combinação linear de harmônicos esféricos $ Y_{\ell m}(\theta, \varphi) $ com diferentes valores de $ m
\hat{L}_x $, $ \hat{L}_y $, $ \hat{L}_z $, e $ \hat{L}^2 $), valores esperados desses operadores e probabilidades associadas aos estados quânticos. Para resolver, vamos precisar conhecer as propriedades dos harmônicos esféricos e dos operadores de momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores esperados dos operadores de momento angular $ \hat{L}_x $, $ \hat{L}_y $, $ \hat{L}_z $ e $ \hat{L}^2 $ no estado dado. Sabemos que os harmônicos esféricos são autovalores dos operadores $ \hat{L}^2 $ e $ \hat{L}_z $, ou seja:
Para os operadores $ \hat{L}_x $ e $ \hat{L}_y $, a expectativa será zero devido à ortogonalidade dos harmônicos esféricos com diferentes $ m $.
Passo 3
Vamos calcular $ \langle \hat{L}z \rangle $. A função de onda é uma superposição linear de diferentes $ Y{\ell m} $. Como $ \hat{L}z $ atua apenas sobre $ Y{\ell m} $ trazendo $ \hbar m $, temos:
Portanto, $ \langle \hat{L}_z \rangle = 0 $.
Passo 4
Para $ \langle \hat{L}_x \rangle $ e $ \langle \hat{L}_y \rangle $, sabemos que esses operadores conectam estados com diferentes $ m $. Devido à ortogonalidade dos harmônicos esféricos para $ m $ diferentes, a expectativa desses operadores será zero:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \langle \hat{L}^2 \rangle $. Como $ \hat{L}^2 $ age sobre cada harmônico esférico multiplicando pelo fator $ \hbar^2 \ell(\ell + 1) $ e todos os termos na função de onda têm $ \ell = 1 $:
Passo 6
Para encontrar o valor esperado de $ V(\theta) = 2\cos^2\theta $ no estado dado, usamos a definição de valor esperado:
Essa integral pode ser simplificada usando propriedades de harmônicos esféricos e a relação $ \cos\theta = Y_{10} $. Após os cálculos, obtemos:
Passo 7
Finalmente, para calcular a probabilidade de encontrar a partícula no estado $ m_{\ell} = 0 $, observamos os coeficientes na função de onda correspondente a $ Y_{\ell 0} $. A probabilidade é o quadrado do módulo desse coeficiente: