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.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que uma certa combinação de exponenciais dos operadores angulares
e
resulta em outro operador angular,
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre álgebra de operadores e como eles se comportam quando aplicamos exponenciais neles, que geralmente representam rotações no espaço dos operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os operadores
,
e
representam os componentes do momento angular em três direções diferentes. Eles obedecem certas regras de comutação, que basicamente dizem como eles “interagem” entre si. Essas regras são essenciais para manipular expressões envolvendo esses operadores.
Passo 3
Uma coisa importante é entender que a expressão
representa uma rotação no torno do eixo
(onde
pode ser
,
ou
) por um ângulo
. Então, quando temos várias dessas rotações aplicadas em sequência, estamos basicamente “girando” o operador de uma maneira específica.
Passo 4
Vamos focar na transformação que temos na questão:
Isso significa que estamos aplicando uma rotação de
Passo 5
Para simplificar essa expressão, podemos usar a propriedade de que
, onde
e
são operadores. Aplicando isso, e lembrando das relações de comutação entre
,
e
, chegamos à conclusão de que a combinação das rotações resulta em uma rotação equivalente a
.