Show that e^-i pi Jz / 2 hbar(e^-i pi Jx / hbar) e^i pi Jz / 2 hbar=e^-i pi Jy / hbar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que uma certa combinação de exponenciais dos operadores angulares Jz e Jx resulta em outro operador angular, Jy. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre álgebra de operadores e como eles se comportam quando aplicamos exponenciais neles, que geralmente representam rotações no espaço dos operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os operadores Jx, Jy e Jz representam os componentes do momento angular em três direções diferentes. Eles obedecem certas regras de comutação, que basicamente dizem como eles “interagem” entre si. Essas regras são essenciais para manipular expressões envolvendo esses operadores.

Passo 3

Uma coisa importante é entender que a expressão e^-i theta Jk / hbar representa uma rotação no torno do eixo k (onde k pode ser x, y ou z) por um ângulo theta. Então, quando temos várias dessas rotações aplicadas em sequência, estamos basicamente “girando” o operador de uma maneira específica.

Passo 4

Vamos focar na transformação que temos na questão:
e^-i pi2 Jz / hbar ( e^-i pi Jx / hbar ) e^i pi2 Jz / hbar
Isso significa que estamos aplicando uma rotação de pi/2 em torno do eixo z, depois uma rotação de pi em torno do eixo x, e finalmente desfazendo a rotação de pi/2 em torno do eixo z.

Passo 5

Para simplificar essa expressão, podemos usar a propriedade de que e^A B e^-A = B + [A, B] + 12![A, [A, B]] + dots, onde A e B são operadores. Aplicando isso, e lembrando das relações de comutação entre Jx, Jy e Jz, chegamos à conclusão de que a combinação das rotações resulta em uma rotação equivalente a e^-i pi Jy / hbar.

Resposta

e^-i pi2 Jz / 2 hbar(e^-i pi Jx / hbar) e^i pi2 Jz / 2 hbar=e^-i pi Jy / hbar

Exercícios relacionados