A particle of spin 1 / 2 is subject to a central force field and the Hamiltonian of the system is given by H=c0+cell s L cdot S+cell L^2. If the particle is in a ell=2 state find the values of the energy of the different states of the total angular momentum.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula com spin 1/2 que está sujeita a um campo de força central. O Hamiltoniano do sistema é dado por:
H = c0 + cell s L cdot S + cell L^2
Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de energia para os diferentes estados do momento angular total, dada a condição de que a partícula está em um estado com ell = 2. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre momentos angulares, spin, e como eles interagem no Hamiltoniano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são os possíveis valores do momento angular total J quando combinamos o momento angular orbital L com o spin S. Sabemos que:
J = L + S
Como ell = 2 e o spin s = 12, os valores possíveis de j são:
j = ell + s = 2 + 12 = 52
j = ell - s = 2 - 12 = 32
Então, temos dois possíveis valores para j: 52 e 32.

Passo 3

Agora, vamos usar uma relação importante que envolve o produto escalar entre L e S:
L cdot S = 12 ( J^2 - L^2 - S^2 )
Essa fórmula nos ajuda a expressar o termo de acoplamento spin-órbita no Hamiltoniano em termos dos operadores de momento angular total, orbital e de spin.

Passo 4

Vamos calcular cada um desses termos para os valores possíveis de j.
Primeiro, sabemos que:
L^2 = ell(ell + 1)hbar^2 = 2 times 3 hbar^2 = 6hbar^2
S^2 = s(s + 1)hbar^2 = 12 times 32 hbar^2 = 34hbar^2
Para J^2, temos dois casos:
  • Para j = 52:
J^2 = j(j + 1)hbar^2 = 52 times 72 hbar^2 = 354hbar^2
  • Para j = 32:
J^2 = j(j + 1)hbar^2 = 32 times 52 hbar^2 = 154hbar^2

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão para L cdot S:
L cdot S = 12 ( J^2 - L^2 - S^2 )
Para j = 52:
L cdot S = 12 ( 354hbar^2 - 6hbar^2 - 34hbar^2 ) = 12 ( 35 - 24 - 34 hbar^2 ) = 12 ( 84 hbar^2 ) = 12 times 2hbar^2 = hbar^2
Para j = 32:
L cdot S = 12 ( 154hbar^2 - 6hbar^2 - 34hbar^2 ) = 12 ( 15 - 24 - 34 hbar^2 ) = 12 ( -124 hbar^2 ) = 12 times (-3)hbar^2 = -32hbar^2

Passo 6

Agora, vamos substituir esses resultados no Hamiltoniano para encontrar a energia E em cada caso:
H = c0 + cell s L cdot S + cell L^2
Para j = 52:
E = c0 + cell s hbar^2 + cell times 6hbar^2
E = c0 + (cell s + 6cell)hbar^2
Para j = 32:
E = c0 + cell s (-32hbar^2) + cell times 6hbar^2
E = c0 + (-32cell s + 6cell)hbar^2

Resposta

Os valores de energia para os diferentes estados do momento angular total são:
E(52) = c0 + (cell s + 6cell)hbar^2
E(32) = c0 + (-32cell s + 6cell)hbar^2

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