A particle of spin
is subject to a central force field and the Hamiltonian of the system is given by
. If the particle is in a
state find the values of the energy of the different states of the total angular momentum.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula com spin 1/2 que está sujeita a um campo de força central. O Hamiltoniano do sistema é dado por:
Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de energia para os diferentes estados do momento angular total, dada a condição de que a partícula está em um estado com
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre momentos angulares, spin, e como eles interagem no Hamiltoniano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais são os possíveis valores do momento angular total
quando combinamos o momento angular orbital
com o spin
. Sabemos que:
Como
e o spin
, os valores possíveis de
são:
Então, temos dois possíveis valores para
:
e
.
Passo 3
Agora, vamos usar uma relação importante que envolve o produto escalar entre
e
:
Essa fórmula nos ajuda a expressar o termo de acoplamento spin-órbita no Hamiltoniano em termos dos operadores de momento angular total, orbital e de spin.
Passo 4
Vamos calcular cada um desses termos para os valores possíveis de
.
Primeiro, sabemos que:
Para
, temos dois casos:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos substituir esses resultados no Hamiltoniano para encontrar a energia
em cada caso:
Para
:
Para
:
Resposta
Os valores de energia para os diferentes estados do momento angular total são: