Consider the tensor given by
. Evaluate the reduced matrix element
. In order to do so, calculate explicitly the matrix element
and use the Wigner-Eckart theorem. Express
in terms of the components of a spherical tensor of rank 2. Calculate
for
.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício que você me enviou está relacionado a tensores esféricos e à teoria de matrizes de matriz reduzida, especificamente usando o Teorema de Wigner-Eckart. Vamos precisar entender como expressar o tensor $ T(\theta, \varphi) = \sin^{2} \theta \cos(2\varphi) $ em termos de componentes de um tensor esférico de segunda ordem. Além disso, vamos calcular elementos de matriz específicos e aplicar o teorema mencionado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica e teoria de representações, mas vou explicar tudo de maneira bem simples!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um tensor esférico. Em física, especialmente na mecânica quântica, tensors esféricos são funções que transformam de maneira específica quando mudamos o sistema de coordenadas. Eles são muito úteis para descrever propriedades que têm simetria esférica, como campos elétricos ou magnéticos.
No nosso caso, $ T(\theta, \varphi) = \sin^{2} \theta \cos(2\varphi) $ é um tensor de segunda ordem porque está relacionado com funções de ordem 2 (como $ Y_2 $, os harmônicos esféricos de ordem 2). Nosso objetivo é expressar $ T $ em termos dos componentes de um tensor esférico $ Y_2 $.
Passo 3
Para isso, vamos lembrar que os harmônicos esféricos $ Y_{l}^{m}(\theta, \varphi) $ formam uma base para expandir funções dependentes de ângulos. Aqui, $ l = 2 $ e precisamos encontrar uma combinação linear dos $ Y_2^{m} $ que reproduza $ T(\theta, \varphi) $. Especificamente, $ \cos(2\varphi) $ pode ser relacionado com os harmônicos esféricos de $ m = 2 $ e $ m = -2 $.
A expressão geral será:
onde $ a $ e $ b $ são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 4
Sabemos que $ Y_{2}^{2}(\theta, \varphi) + Y_{2}^{-2}(\theta, \varphi) $ envolve termos como $ \cos(2\varphi) $, que corresponde exatamente ao que temos em $ T(\theta, \varphi) $. Portanto, podemos escrever:
Aqui, utilizamos propriedades dos harmônicos esféricos para expressar $ T $ na forma desejada.
Passo 5
Agora, vamos calcular o elemento de matriz $ \langle 2,1 | Y_{20} | 2,1 \rangle $. Os harmônicos esféricos têm propriedades de ortogonalidade e simetria que nos ajudam a simplificar esses cálculos. Como $ Y_{20} $ está associado a $ m = 0 $, e considerando que os estados $ |2,1 \rangle $ têm $ m = 1 $, vamos utilizar essas propriedades para encontrar o valor desse elemento de matriz.
Na verdade, devido à ortogonalidade dos harmônicos esféricos com diferentes valores de $ m $, temos:
Isso porque $ Y_{20} $ não conecta estados com diferentes valores de $ m $ diretamente.
Passo 6
Agora, vamos aplicar o Teorema de Wigner-Eckart, que nos permite separar os detalhes angulares dos detalhes dinâmicos em elementos de matriz. Esse teorema diz que podemos escrever:
onde $ \langle j’ || T^{(k)} || j \rangle $ é o elemento de matriz reduzido que queremos encontrar.
No nosso caso, $ j = j’ = 2 $, $ k = 2 $, e $ q = 0 $. Já calculamos que $ \langle 2,1 | Y_{20} | 2,1 \rangle = 0 $, então isso nos ajuda a determinar o elemento de matriz reduzido.
Passo 7
Com base no resultado acima e aplicando o Teorema de Wigner-Eckart, concluímos que o elemento de matriz reduzido $ \langle 2 || Y_{2} || 2 \rangle $ também é zero:
Isso simplifica muito a nossa análise, pois agora sabemos que certos termos vão desaparecer nas próximas etapas.
Passo 8
Finalmente, vamos calcular $ A_{m’ \pm 1} = \langle 2, m’ | T | 2, \pm 1 \rangle $ para $ m’ = \pm2, \pm1,0 $. Dado que o elemento de matriz reduzido é zero, todas as amplitudes $ A_{m’ \pm 1} $ também serão zero:
Isso ocorre porque o tensor $ T $ não conecta esses estados específicos quando o elemento de matriz reduzido é nulo.
Resposta
Após seguir todos os passos, concluímos que o elemento de matriz reduzido é zero:
Além disso, todas as amplitudes $ A_{m’ \pm 1} $ para $ m’ = \pm2, \pm1,0 $ também são iguais a zero.