- Consider the hypothesis test
against
. Suppose that sample sizes are
and
, that
and
, and that
and
. Assume that
and that the data are drawn from normal distributions. Use
.
(a) Test the hypothesis and find the
-value.
(b) Explain how the test could be conducted with a confidence interval.
(a) Test the hypothesis and find the
(b) Explain how the test could be conducted with a confidence interval.
Passo 1
O enunciado pede testar
com nível de significância
. Informações fornecidas:
Foi assumido que
e que os dados são normais. Perguntas:
(a) realizar o teste e encontrar o -valor; (b) explicar como fazer o teste usando um intervalo de confiança.
(a) realizar o teste e encontrar o
Passo 2
Qual o método adequado? Como o enunciado assume variâncias populacionais iguais (
) e as amostras são independentes e normais, usamos o teste
para duas amostras independentes com variância agrupada (pooled). Vou explicar a ideia e as fórmulas passo a passo.
Conceito (didático e sem jargão): queremos verificar se a diferença observada nas médias amostrais
pode ser atribuída apenas à variação amostral quando as médias populacionais são iguais. A estatística de teste standardiza essa diferença dividindo pelo erro padrão da diferença; sob
essa estatística segue uma distribuição
com
graus de liberdade.
Fórmulas principais:
- Variância agrupada (pooled):
Aqui
e
são as variâncias amostrais,
e
são as respetivas liberdades de grau para cada amostra; combinamos para uma melhor estimativa quando assumimos variâncias iguais.
- Erro padrão da diferença das médias:
- Estatística
:
com
.
Vou aplicar essas fórmulas com os números dados.
Passo 3
Calcular a variância agrupada
passo a passo:
Compute os termos:
Somando:
Dividindo pelo denominador
:
A raiz quadrada dá
:
Passo 4
Calcular o erro padrão da diferença das médias:
Como
, temos
Logo
Passo 5
Calcular a estatística
. A diferença das médias amostrais é
Logo
Os graus de liberdade são
Passo 6
Decisão com valor crítico: para teste bilateral com
e
o valor crítico (tabela
) é aproximadamente
Regra: rejeitar
se
. Aqui
portanto rejeitamos
ao nível de
. Interpretação: a diferença observada entre as médias é grande demais para ser explicada apenas pela variação amostral, assumindo variâncias iguais.
Passo 7
Cálculo do
-valor (explicação e aproximação): o
-valor é a probabilidade, sob
, de observar uma estatística tão extrema quanto a que obtivemos. Para teste bilateral,
Com
e
, consultando uma tabela
fina ou usando calculadora/soft estatístico obtemos aproximadamente
(Nota: a obtenção numérica exata exige tabela/interpolação ou software; o importante é que o
-valor é muito pequeno, bem abaixo de
, confirmando a rejeição de
.)
Passo 8
Como conduzir o teste com um intervalo de confiança (passo a passo e cálculo): a ideia é construir um intervalo de confiança de
para a diferença
. Se o intervalo não contiver
, então rejeitamos
ao nível
.
Fórmula do intervalo:
Substituindo números:
Calcular a margem de erro:
Então o intervalo de
é
Interpretação: o intervalo não contém zero e está totalmente negativo, o que indica que
é significativamente menor que
. Isso é equivalente a rejeitar
para
.
Resposta
(a) Rejeitamos
ao nível
. Estatística
com
.
-valor aproximadamente
(muito menor que
).\n(b) Intervalo de confiança de
para
:
; como
não está no intervalo, conclui-se pela rejeição de
.