• Consider the hypothesis test H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2} against H_{1}: \mu_{1} \neq \mu_{2}. Suppose that sample sizes are n_{1}=15 and n_{2}=15, that \bar{x}_{1}=4.7 and \bar{x}_{2}=7.8, and that s_{1}^{2}=4 and s_{2}^{2}=6.25. Assume that \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2} and that the data are drawn from normal distributions. Use \alpha=0.05.
    (a) Test the hypothesis and find the P-value.
    (b) Explain how the test could be conducted with a confidence interval.

Passo 1

O enunciado pede testar
H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2}\quad\text{contra}\quad H_{1}:\mu_{1}\neq\mu_{2}
com nível de significância \alpha=0,05. Informações fornecidas:
n_{1}=15,\quad n_{2}=15,
\bar{x}_{1}=4{,}7,\quad \bar{x}_{2}=7{,}8,
s_{1}^{2}=4\quad(\text{logo }s_{1}=2),\quad s_{2}^{2}=6{,}25\quad(\text{logo }s_{2}=2{,}5).
Foi assumido que \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2} e que os dados são normais. Perguntas:
(a) realizar o teste e encontrar o P-valor; (b) explicar como fazer o teste usando um intervalo de confiança.

Passo 2

Qual o método adequado? Como o enunciado assume variâncias populacionais iguais ( \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}) e as amostras são independentes e normais, usamos o teste t para duas amostras independentes com variância agrupada (pooled). Vou explicar a ideia e as fórmulas passo a passo.
Conceito (didático e sem jargão): queremos verificar se a diferença observada nas médias amostrais \bar{x}_{1}-\bar{x}_{2} pode ser atribuída apenas à variação amostral quando as médias populacionais são iguais. A estatística de teste standardiza essa diferença dividindo pelo erro padrão da diferença; sob H_{0} essa estatística segue uma distribuição t com n_{1}+n_{2}-2 graus de liberdade.
Fórmulas principais:
  • Variância agrupada (pooled):
s_{p}^{2}=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}.
Aqui s_{1}^{2} e s_{2}^{2} são as variâncias amostrais, n_{1}-1 e n_{2}-1 são as respetivas liberdades de grau para cada amostra; combinamos para uma melhor estimativa quando assumimos variâncias iguais.
  • Erro padrão da diferença das médias:
\text{SE} = s_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}}.
  • Estatística t:
t=\frac{\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}}{\text{SE}},
com df=n_{1}+n_{2}-2.
Vou aplicar essas fórmulas com os números dados.

Passo 3

Calcular a variância agrupada s_{p}^{2} passo a passo:
s_{p}^{2}=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2} =\frac{(15-1)\cdot 4+(15-1)\cdot 6{,}25}{15+15-2}.
Compute os termos:
(15-1)\cdot 4 = 14\cdot 4 = 56,
(15-1)\cdot 6{,}25 = 14\cdot 6{,}25 = 87{,}5.
Somando:
56 + 87{,}5 = 143{,}5.
Dividindo pelo denominador 28:
s_{p}^{2}=\frac{143{,}5}{28}=5{,}125.
A raiz quadrada dá s_{p}:
s_{p}=\sqrt{5{,}125}\approx 2{,}2649.

Passo 4

Calcular o erro padrão da diferença das médias:
\text{SE}=s_{p}\sqrt{\frac{1}{n_{1}}+\frac{1}{n_{2}}} =2{,}2649\sqrt{\frac{1}{15}+\frac{1}{15}}.
Como \frac{1}{15}+\frac{1}{15}=\frac{2}{15}, temos
\sqrt{\frac{2}{15}}=\sqrt{0{,}13333\ldots}\approx 0{,}36515.
Logo
\text{SE}\approx 2{,}2649\times 0{,}36515\approx 0{,}826.

Passo 5

Calcular a estatística t. A diferença das médias amostrais é
\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}=4{,}7-7{,}8=-3{,}1.
Logo
t=\frac{-3{,}1}{0{,}826}\approx -3{,}754.
Os graus de liberdade são
df=n_{1}+n_{2}-2=15+15-2=28.

Passo 6

Decisão com valor crítico: para teste bilateral com \alpha=0{,}05 e df=28 o valor crítico (tabela t) é aproximadamente
t_{0{,}975,28}\approx 2{,}048.
Regra: rejeitar H_{0} se |t|>t_{0{,}975,28}. Aqui
|t|\approx 3{,}754>2{,}048,
portanto rejeitamos H_{0} ao nível de 5\%. Interpretação: a diferença observada entre as médias é grande demais para ser explicada apenas pela variação amostral, assumindo variâncias iguais.

Passo 7

Cálculo do P-valor (explicação e aproximação): o P-valor é a probabilidade, sob H_{0}, de observar uma estatística tão extrema quanto a que obtivemos. Para teste bilateral,
\text{p-valor}=2\cdot P\big(T_{28}\le t\big)=2\cdot P\big(T_{28}\ge |t|\big).
Com t\approx 3{,}754 e df=28, consultando uma tabela t fina ou usando calculadora/soft estatístico obtemos aproximadamente
\text{p-valor}\approx 0{,}001 \text{ ou ainda mais precisamente } \approx 0{,}0008.
(Nota: a obtenção numérica exata exige tabela/interpolação ou software; o importante é que o P-valor é muito pequeno, bem abaixo de 0{,}05, confirmando a rejeição de H_{0}.)

Passo 8

Como conduzir o teste com um intervalo de confiança (passo a passo e cálculo): a ideia é construir um intervalo de confiança de 95\% para a diferença \mu_{1}-\mu_{2}. Se o intervalo não contiver 0, então rejeitamos H_{0} ao nível 5\%.
Fórmula do intervalo:
(\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2})\pm t_{0{,}975,28}\cdot \text{SE}.
Substituindo números:
-3{,}1 \pm 2{,}048\times 0{,}826.
Calcular a margem de erro:
2{,}048\times 0{,}826\approx 1{,}692.
Então o intervalo de 95\% é
[-3{,}1-1{,}692,\; -3{,}1+1{,}692]=[-4{,}792,\; -1{,}408].
Interpretação: o intervalo não contém zero e está totalmente negativo, o que indica que \mu_{1} é significativamente menor que \mu_{2}. Isso é equivalente a rejeitar H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2} para \alpha=0{,}05.

Resposta

(a) Rejeitamos H_{0} ao nível \alpha=0{,}05. Estatística t\approx -3{,}754 com df=28. P-valor aproximadamente 0{,}0008 (muito menor que 0{,}05).\n(b) Intervalo de confiança de 95\% para \mu_{1}-\mu_{2}: [-4{,}792,\;-1{,}408]; como 0 não está no intervalo, conclui-se pela rejeição de H_{0}.

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