Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série
converge ou diverge. Se der, a gente também vai tentar encontrar a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise. A série atual pode ser dividida assim:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma dessas séries separadamente.
Para a primeira série
, podemos fatorar o 10:
Sabemos que a série
é uma série conhecida que converge para
(onde
). Como estamos começando de
, isso significa que:
Portanto:
Passo 4
Para a segunda série
, também reconhecemos uma série exponencial. A série
converge para
. Como começamos de
, temos:
Passo 5
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Resposta
A série
converge e sua soma é
.