Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
sumn=1^infty 10-2^nn!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a série sumn=1^infty 10-2^nn! converge ou diverge. Se der, a gente também vai tentar encontrar a soma dela. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise. A série atual pode ser dividida assim:
sumn=1^infty 10-2^nn! = sumn=1^infty 10n! - sumn=1^infty 2^nn!

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma dessas séries separadamente.
Para a primeira série sumn=1^infty 10n!, podemos fatorar o 10:
10 sumn=1^infty 1n!
Sabemos que a série sumn=0^infty 1n! é uma série conhecida que converge para e (onde e approx 2,718). Como estamos começando de n=1, isso significa que:
sumn=1^infty 1n! = e - 1
Portanto:
10 sumn=1^infty 1n! = 10(e - 1)

Passo 4

Para a segunda série sumn=1^infty 2^nn!, também reconhecemos uma série exponencial. A série sumn=0^infty 2^nn! converge para e^2. Como começamos de n=1, temos:
sumn=1^infty 2^nn! = e^2 - 1

Passo 5

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
10(e - 1) - (e^2 - 1) = 10e - 10 - e^2 + 1 = -e^2 + 10e - 9

Resposta

A série sumn=1^infty 10-2^nn! converge e sua soma é -e^2 + 10e - 9.

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