Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
sumn=1^infty 5^nn 3^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série sumn=1^infty 5^nn cdot 3^n+1 converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também tenta achar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar um critério de convergência de séries, que ajuda a gente a entender o comportamento da série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouquinho a expressão da série. Olha só:
5^nn cdot 3^n+1 = 5^nn cdot 3^n cdot 3 = 13 cdot (5/3)^nn
Daí, a série fica:
13 sumn=1^infty (5/3)^nn

Passo 3

Agora, vamos analisar a série sumn=1^infty (5/3)^nn. Existe um critério chamado Critério de Convergência da Série p que pode ser útil aqui, mas como a gente tem uma potência (5/3)^n dividida por n , o melhor caminho é usar o Teste da Série Geométrica Generalizada ou comparar com uma série conhecida.

Passo 4

Observando a expressão (5/3)^n , percebemos que a base é 5/3 , que é maior que 1. Sabemos que, para séries da forma sum a^n, se |a| > 1 , a série diverge porque os termos não tendem a zero.

Passo 5

No nosso caso, temos a = 5/3 > 1 , então mesmo dividindo por n , a série sum (5/3)^nn ainda vai divergir. Isso porque o crescimento exponencial de (5/3)^n domina o crescimento do denominador n .

Passo 6

Como a série sum (5/3)^nn diverge, multiplicar por uma constante, no caso 13 , não muda o comportamento da série. Assim, a série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 5^nn cdot 3^n+1 diverge.

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