Determine se as séries abaixo convergem ou divergem. E, se possível, exiba sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se a série
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também tenta achar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar um critério de convergência de séries, que ajuda a gente a entender o comportamento da série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouquinho a expressão da série. Olha só:
Daí, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar a série
. Existe um critério chamado Critério de Convergência da Série p que pode ser útil aqui, mas como a gente tem uma potência
dividida por
, o melhor caminho é usar o Teste da Série Geométrica Generalizada ou comparar com uma série conhecida.
Passo 4
Observando a expressão
, percebemos que a base é
, que é maior que 1. Sabemos que, para séries da forma
, se
, a série diverge porque os termos não tendem a zero.
Passo 5
No nosso caso, temos
, então mesmo dividindo por
, a série
ainda vai divergir. Isso porque o crescimento exponencial de
domina o crescimento do denominador
.
Passo 6
Como a série
diverge, multiplicar por uma constante, no caso
, não muda o comportamento da série. Assim, a série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.