Consider a two-dimensional space where a operator
(which is Hermitian) is defined as follows:
and
.
- Do the states
form a basis?
- Consider an operator defined as
. Is this operator Hermitian? Demonstrate that
.
- Show that the products
and
are projection operators.
- Show that the operator
is unitary.
- Consider the operator defined as
. Show that
and
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre operadores em um espaço bidimensional e envolve conceitos como base, operadores hermitianos, projeções e operadores unitários. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa um operador ser hermitiano, como funcionam os operadores de projeção e o que caracteriza um operador unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se os estados
e
formam uma base. Em um espaço bidimensional, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que podem gerar qualquer vetor do espaço através de combinações lineares.
Passo 3
Como o operador
é hermitiano e tem dois autovalores distintos (+1 e -1) associados a
e
, respectivamente, esses vetores são ortogonais e, portanto, linearmente independentes. Isso significa que eles formam uma base para o espaço bidimensional.
Passo 4
Agora, vamos analisar o operador
. Para saber se
é hermitiano, precisamos comparar
com seu adjunto
.
Passo 5
O adjunto de
é
. Como
, o operador
não é hermitiano.
Passo 6
Vamos demonstrar que
. Aplicando
duas vezes:
Porque
(os vetores são ortogonais).
Passo 7
Agora, vamos mostrar que
e
são operadores de projeção. Um operador de projeção satisfy
.
Passo 8
Calculando
:
E
, então é um operador de projeção.
Passo 9
De maneira similar, calculando
:
E novamente,
, confirmando que é um operador de projeção.
Passo 10
Vamos mostrar que
é unitário. Um operador
é unitário se
.
Passo 11
Calculando
:
Então,
é hermitiano. Agora, verificamos
:
Usando
e
, simplificamos e obtemos
. Assim,
é unitário.
Passo 12
Por último, consideramos
. Vamos mostrar que
atua como identidade nos estados
e
.
Passo 13
Aplicando
em
:
Pois
.
Passo 14
Fazendo o mesmo para
:
Novamente, porque
.
Resposta
- Sim, os estados
e formam uma base. - O operador
não é hermitiano e satisfaz . - Os produtos
e são operadores de projeção. - O operador
é unitário. - O operador
satisfaz e .