Consider a two-dimensional space where a operator O (which is Hermitian) is defined as follows: O|psi1rang<==+1|psi1rang<= and O|psi2rang<==-1|psi2rang<=.
  • Do the states |psi1,2rang<= form a basis?
  • Consider an operator defined as C=|psi1rang<=lang<=psi2|. Is this operator Hermitian? Demonstrate that C^2=0.
  • Show that the products C^dag>=r C and C C^dag>=r are projection operators.
  • Show that the operator U=(C C^dag>=r-C^dag>=r C) is unitary.
  • Consider the operator defined as F=(C C^dag>=r+C^dag>=r C). Show that F|psi1rang<==|psi1rang<= and F|psi2rang<==|psi2rang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre operadores em um espaço bidimensional e envolve conceitos como base, operadores hermitianos, projeções e operadores unitários. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa um operador ser hermitiano, como funcionam os operadores de projeção e o que caracteriza um operador unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se os estados |psi1rang<= e |psi2rang<= formam uma base. Em um espaço bidimensional, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que podem gerar qualquer vetor do espaço através de combinações lineares.

Passo 3

Como o operador O é hermitiano e tem dois autovalores distintos (+1 e -1) associados a |psi1rang<= e |psi2rang<=, respectivamente, esses vetores são ortogonais e, portanto, linearmente independentes. Isso significa que eles formam uma base para o espaço bidimensional.

Passo 4

Agora, vamos analisar o operador C = |psi1rang<=lang<=psi2|. Para saber se C é hermitiano, precisamos comparar C com seu adjunto C^dag>=r.

Passo 5

O adjunto de C é C^dag>=r = |psi2rang<=lang<=psi1|. Como C neq C^dag>=r, o operador C não é hermitiano.

Passo 6

Vamos demonstrar que C^2 = 0. Aplicando C duas vezes:
C^2 = |psi1rang<=lang<=psi2|psi1rang<=lang<=psi2| = |psi1rang<= (0) lang<=psi2| = 0
Porque lang<=psi2|psi1rang<= = 0 (os vetores são ortogonais).

Passo 7

Agora, vamos mostrar que C^dag>=r C e C C^dag>=r são operadores de projeção. Um operador de projeção satisfy P^2 = P.

Passo 8

Calculando C^dag>=r C:
C^dag>=r C = |psi2rang<=lang<=psi1|psi1rang<=lang<=psi2| = |psi2rang<=lang<=psi2|
E (C^dag>=r C)^2 = C^dag>=r C, então é um operador de projeção.

Passo 9

De maneira similar, calculando C C^dag>=r:
C C^dag>=r = |psi1rang<=lang<=psi2|psi2rang<=lang<=psi1| = |psi1rang<=lang<=psi1|
E novamente, (C C^dag>=r)^2 = C C^dag>=r, confirmando que é um operador de projeção.

Passo 10

Vamos mostrar que U = C C^dag>=r - C^dag>=r C é unitário. Um operador U é unitário se U^dag>=r U = U U^dag>=r = I.

Passo 11

Calculando U^dag>=r:
U^dag>=r = (C C^dag>=r - C^dag>=r C)^dag>=r = C C^dag>=r - C^dag>=r C = U
Então, U é hermitiano. Agora, verificamos U^2:
U^2 = (C C^dag>=r - C^dag>=r C)^2 = C C^dag>=r C C^dag>=r - C C^dag>=r C^dag>=r C - C^dag>=r C C C^dag>=r + C^dag>=r C C^dag>=r C
Usando C^2 = 0 e C^dag>=r^2 = 0, simplificamos e obtemos U^2 = I. Assim, U é unitário.

Passo 12

Por último, consideramos F = C C^dag>=r + C^dag>=r C. Vamos mostrar que F atua como identidade nos estados |psi1rang<= e |psi2rang<=.

Passo 13

Aplicando F em |psi1rang<=:
F|psi1rang<= = C C^dag>=r |psi1rang<= + C^dag>=r C |psi1rang<= = C |psi1rang<= lang<= psi2|psi1 rang<= + C^dag>=r |psi1rang<= lang<= psi2|psi1 rang<= = |psi1rang<=
Pois lang<= psi2|psi1 rang<= = 0.

Passo 14

Fazendo o mesmo para |psi2rang<=:
F|psi2rang<= = C C^dag>=r |psi2rang<= + C^dag>=r C |psi2rang<= = C |psi2rang<= lang<= psi2|psi2 rang<= + C^dag>=r |psi2rang<= lang<= psi1|psi2 rang<= = |psi2rang<=
Novamente, porque lang<= psi1|psi2 rang<= = 0.

Resposta

  1. Sim, os estados |psi1rang<= e |psi2rang<= formam uma base.
  2. O operador C não é hermitiano e satisfaz C^2 = 0.
  3. Os produtos C^dag>=r C e C C^dag>=r são operadores de projeção.
  4. O operador U = C C^dag>=r - C^dag>=r C é unitário.
  5. O operador F satisfaz F|psi1rang<= = |psi1rang<= e F|psi2rang<= = |psi2rang<=.

Exercícios relacionados