Let us consider the three-dimensional normalised plane waves, vp(r), and Dirac deltafunctions, xir0(r)=de, which constitute continuous bases.
  • Given an arbitrary state |psirang<= for a particle in 3-d motion use the closure relation for the basis set |vprang<= to show that (in position representation):
psi(r)=1(2 pi hbar)^3 / 2 integral d^3 p tildepsi(p) e^i p cdot r / hbar
  • Use the closure relation for the basis set |xir0rang<= to show that:
tildepsi(p)=1(2 pi hbar)^3 / 2 integral d^3 r psi(r) e^-i p r / hbar

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre ondas planares normalizadas tridimensionais e funções delta de Dirac, que são usadas como bases contínuas para representar estados quânticos. A gente precisa mostrar duas fórmulas que relacionam a função de onda no espaço posição, psi(r), com sua representação no espaço momento, tildepsi(p). Para isso, vamos usar a relação de fechamento das bases de momento e posição. Vamos precisar entender um pouco sobre transformadas de Fourier e como estados quânticos são representados nessas bases.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira parte: mostrar que psi(r) pode ser escrita como uma integral envolvendo tildepsi(p). A relação de fechamento nos diz que podemos escrever qualquer estado quântico como uma soma (ou integral, no caso contínuo) sobre todas as possíveis bases de momento.
Matematicamente, a relação de fechamento para as ondas de momento é:
integral d^3 p |vprang<= lang<= vp | = I
Onde I é o operador identidade.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa relação de fechamento ao estado |psirang<=:
|psirang<= = I |psirang<= = integral d^3 p |vprang<= lang<= vp | psi rang<=
Aqui, lang<= vp | psi rang<= é a projeção do estado |psirang<= na base de momento, que é justamente tildepsi(p).

Passo 4

Então, podemos escrever:
|psirang<= = integral d^3 p , tildepsi(p) |vprang<=
Agora, para obter a função de onda no espaço posição, psi(r), a gente aplica o bra lang<= r | em ambos os lados:
psi(r) = lang<= r | psi rang<= = integral d^3 p , tildepsi(p) lang<= r | vp rang<=

Passo 5

Sabemos que lang<= r | vp rang<= é a representação da onda plana no espaço posição, que é:
lang<= r | vp rang<= = 1(2 pi hbar)^3/2 e^i p cdot r / hbar
Substituindo isso na equação anterior:
psi(r) = 1(2 pi hbar)^3/2 integral d^3 p , tildepsi(p) e^i p cdot r / hbar
E assim mostramos a primeira parte.

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte: expressar tildepsi(p) em termos de psi(r) usando a relação de fechamento na base de posição. A relação de fechamento para a base de posição é:
integral d^3 r |xir0rang<= lang<= xir0 | = I
Onde xir0(r) = de é a função delta de Dirac.

Passo 7

Aplicando essa relação ao estado |psirang<=:
|psirang<= = I |psirang<= = integral d^3 r |xirrang<= lang<= xir | psi rang<=
Aqui, lang<= xir | psi rang<= é a função de onda no espaço posição, psi(r).

Passo 8

Então, temos:
|psirang<= = integral d^3 r , psi(r) |xirrang<=
Para encontrar tildepsi(p), a gente projeta esse estado na base de momento:
tildepsi(p) = lang<= vp | psi rang<= = integral d^3 r , psi(r) lang<= vp | xir rang<=

Passo 9

Sabemos que lang<= vp | xir rang<= é a conjugada complexa da representação da onda plana:
lang<= vp | xir rang<= = 1(2 pi hbar)^3/2 e^-i p cdot r / hbar
Substituindo isso na equação anterior:
tildepsi(p) = 1(2 pi hbar)^3/2 integral d^3 r , psi(r) e^-i p cdot r / hbar
E aí está a segunda expressão que queríamos demonstrar.

Resposta

As duas relações foram demonstradas conforme acima:
psi(r) = 1(2 pi hbar)^3/2 integral d^3 p , tildepsi(p) e^i p cdot r / hbar
e
tildepsi(p) = 1(2 pi hbar)^3/2 integral d^3 r , psi(r) e^-i p cdot r / hbar

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