Let us consider a complete and orthonormal basis |chiirang<=(i=1,2,3) given by the kets |chi1rang<=,|chi2rang<=,|chi3rang<= and an operator defined as C=|chi1rang<=lang<=chi1|+|chi2rang<=lang<=chi2|+|chi3rang<=lang<=chi3|-i|chi1rang<=lang<=chi2|- |chi1rang<=lang<=chi3|+i|chi2rang<=lang<=chi1|-|chi3rang<=lang<=chi1|.
  • Is the operator C Hermitian and a projection operator?
  • Find the 3 times 3 matrix representing the operator C in the |chiirang<= basis.
  • Find the eigenvalues and eigenvectors of C.

Passo 1

Vamos resumir o que precisa ser feito neste exercício. Temos uma base completa e ortonormal formada pelos vetores |chi1rang<=, |chi2rang<= e |chi3rang<=. Foi definido um operador C usando esses vetores. Precisamos:
  1. Verificar se C é um operador hermitiano e se é um operador de projeção.
  2. Encontrar a matriz 3 times 3 que representa C nessa base.
  3. Determinar os autovalores e autovetores de C.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de operadores lineares, matrizes, operator hermitiano, operadores de projeção e teoria de autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o operador C é hermitiano. Um operador é hermitiano se for igual ao seu adjunto, ou seja, C^dag>=r = C.
O adjunto de C é obtido tomando o conjugado transposto de cada termo:
C^dag>=r = |chi1rang<=lang<=chi1| + |chi2rang<=lang<=chi2| + |chi3rang<=lang<=chi3| + i|chi2rang<=lang<=chi1| + |chi3rang<=lang<=chi1| - i|chi1rang<=lang<=chi2| - |chi1rang<=lang<=chi3|
Comparando C com C^dag>=r, vemos que:
C neq C^dag>=r
Portanto, C não é um operador hermitiano.

Passo 3

Agora vamos verificar se C é um operador de projeção. Um operador de projeção P deve satisfazer duas condições:
  1. P^2 = P
  2. P é hermitiano.
Já vimos no passo anterior que C não é hermitiano, portanto, C não pode ser um operador de projeção.

Passo 4

Vamos encontrar a matriz 3 times 3 que representa o operador C na base |chiirang<=.
Cada elemento da matriz Cij é dado por:
Cij = lang<= chii | C | chij rang<=
Vamos calcular cada elemento:
  1. C11 = lang<= chi1 | C | chi1 rang<= = 1 (da primeira parte de C)
  2. C12 = lang<= chi1 | C | chi2 rang<= = -i (do termo -i|chi1rang<=lang<=chi2|)
  3. C13 = lang<= chi1 | C | chi3 rang<= = -1 (do termo -|chi1rang<=lang<=chi3|)
  4. C21 = lang<= chi2 | C | chi1 rang<= = i (do termo i|chi2rang<=lang<=chi1|)
  5. C22 = lang<= chi2 | C | chi2 rang<= = 1 (da segunda parte de C)
  6. C23 = lang<= chi2 | C | chi3 rang<= = 0 (não há termos envolvendo |chi2rang<=lang<=chi3|)
  7. C31 = lang<= chi3 | C | chi1 rang<= = -1 (do termo -|chi3rang<=lang<=chi1|)
  8. C32 = lang<= chi3 | C | chi2 rang<= = 0 (não há termos envolvendo |chi3rang<=lang<=chi2|)
  9. C33 = lang<= chi3 | C | chi3 rang<= = 1 (da terceira parte de C)
Assim, a matriz C é:
C = 1 & -i & -1 i & 1 & 0 -1 & 0 & 1

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovalores e autovetores de C. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(C - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda são os autovalores.
Substituindo C e I:
det( 1 - lambda & -i & -1 i & 1 - lambda & 0 -1 & 0 & 1 - lambda ) = 0
Calculando o determinante:
(1 - lambda)[(1 - lambda)(1 - lambda) - 0] - (-i)[i(1 - lambda) - 0] + (-1)[i cdot 0 - (1 - lambda)(-1)] = 0
Simplificando:
(1 - lambda)(1 - lambda)^2 - (-i)(i)(1 - lambda) + (-1)(0 - (-1)(1 - lambda)) = 0
(1 - lambda)^3 - (i^2)(1 - lambda) + (-1)(1 - lambda) = 0
Sabendo que i^2 = -1:
(1 - lambda)^3 - (-1)(1 - lambda) - (1 - lambda) = 0
(1 - lambda)^3 + (1 - lambda) - (1 - lambda) = 0
(1 - lambda)^3 = 0
Portanto, temos um autovalor de multiplicidade 3:
lambda = 1
Agora, vamos encontrar os autovetores associados a lambda = 1:
Resolvemos (C - I)v = 0:

$$
0 & -i & -1 i & 0 & 0 -1 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
- i v2 - v3 = 0 i v1 = 0 - v1 = 0

v1 = 0
$$
Isso nos dá o sistema de equações:
- i v2 - v3 = 0 implies v3 = -i v2
Das duas últimas equações, v2. A primeira equação então se torna:
v2 = 1
Podemos escolher v3 = -i livremente. Vamos definir v = 0 1 - i , então C.
Portanto, um autovetor é:
C
Como todos os autovalores são iguais e o operador tem dimensão 3, a multiplicidade do autovalor é 3, mas apenas um autovetor linearmente independente foi encontrado. Isso indica que não é diagonalizável.

Resposta

  1. O operador C não é hermitiano e não é um operador de projeção.
  2. A matriz 3 times 3 que representa C na base |chiirang<= é:
C = 1 & -i & -1 i & 1 & 0 -1 & 0 & 1
  1. O operador C possui um único autovalor lambda = 1 com multiplicidade 3, e um autovetor associado é:
v = 0 1 - i

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