Let us consider a complete and orthonormal basis given by the kets and an operator defined as .
Is the operator Hermitian and a projection operator?
Find the matrix representing the operator in the basis.
Find the eigenvalues and eigenvectors of .
Passo 1
Vamos resumir o que precisa ser feito neste exercício. Temos uma base completa e ortonormal formada pelos vetores , e . Foi definido um operador usando esses vetores. Precisamos:
Verificar se é um operador hermitiano e se é um operador de projeção.
Encontrar a matriz que representa nessa base.
Determinar os autovalores e autovetores de .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de operadores lineares, matrizes, operator hermitiano, operadores de projeção e teoria de autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o operador é hermitiano. Um operador é hermitiano se for igual ao seu adjunto, ou seja, .
O adjunto de é obtido tomando o conjugado transposto de cada termo:
Comparando com , vemos que:
Portanto, não é um operador hermitiano.
Passo 3
Agora vamos verificar se é um operador de projeção. Um operador de projeção deve satisfazer duas condições:
é hermitiano.
Já vimos no passo anterior que não é hermitiano, portanto, não pode ser um operador de projeção.
Passo 4
Vamos encontrar a matriz que representa o operador na base .
Cada elemento da matriz é dado por:
Vamos calcular cada elemento:
(da primeira parte de )
(do termo )
(do termo )
(do termo )
(da segunda parte de )
(não há termos envolvendo )
(do termo )
(não há termos envolvendo )
(da terceira parte de )
Assim, a matriz é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovalores e autovetores de C. Para isso, precisamos resolver a equação característica:
det(C - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda são os autovalores.
Das duas últimas equações, v2. A primeira equação então se torna:
v2 = 1
Podemos escolher v3 = -i livremente. Vamos definir v = 0 1 - i , então C.
Portanto, um autovetor é:
C
Como todos os autovalores são iguais e o operador tem dimensão 3, a multiplicidade do autovalor é 3, mas apenas um autovetor linearmente independente foi encontrado. Isso indica que não é diagonalizável.
Resposta
O operador Cnão é hermitiano e não é um operador de projeção.
A matriz 3 times 3 que representa C na base |chiirang<= é:
C = 1 & -i & -1 i & 1 & 0 -1 & 0 & 1
O operador C possui um único autovalor lambda = 1 com multiplicidade 3, e um autovetor associado é: