No estudo de contaminação de poeira nos prédios da FCTE nos anos de 2015 a 2019,
obteve-se de forma semi-empírica uma equação que relaciona a concentração de poeira no ar da faculdade com o vetor posição e o tempo tal que:
C=7 x_{2} x_{1} t
Para um campo de velocidade qualquer u e considerando C uma grandeza escalar, calcule a derivada material da concentração de poeira do ar usando notação indicial como ferramenta para determinar o formato de cada termo.

Passo 1

O enunciado nos dá a concentração de poeira no ar como campo escalar
C = 7\,x_{1}\,x_{2}\,t
e um campo de velocidade arbitrário \mathbf{u}. Queremos achar a derivada material
\frac{D C}{D t} = \frac{\partial C}{\partial t} + u_{i}\,\frac{\partial C}{\partial x_{i}}
usando notação indicial (Convenção de soma em índices repetidos).

Passo 2

Calcular a derivada parcial de C em relação ao tempo t. Como x_{1} e x_{2} são independentes de t, temos
\frac{\partial C}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(7\,x_{1}\,x_{2}\,t\bigr) = 7\,x_{1}\,x_{2}.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de C em relação à coordenada x_{i}. Escrevendo em indicial,
\frac{\partial C}{\partial x_{i}} = \frac{\partial}{\partial x_{i}}\bigl(7\,t\,x_{1}\,x_{2}\bigr) = 7\,t\;\frac{\partial (x_{1}\,x_{2})}{\partial x_{i}} = 7\,t\;(\delta_{i1}\,x_{2} + \delta_{i2}\,x_{1}),
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker.

Passo 4

Formar o termo convectivo u_{i}\,\partial C/\partial x_{i}. Usando o resultado anterior,
u_{i}\,\frac{\partial C}{\partial x_{i}} = u_{i}\;7\,t\;(\delta_{i1}\,x_{2} + \delta_{i2}\,x_{1}) = 7\,t\,(u_{1}\,x_{2} + u_{2}\,x_{1}).

Passo 5

Juntando tudo na definição da derivada material,
\frac{D C}{D t} = \frac{\partial C}{\partial t} + u_{i}\,\frac{\partial C}{\partial x_{i}} = 7\,x_{1}\,x_{2} + 7\,t\,(u_{1}\,x_{2} + u_{2}\,x_{1}).

Resposta

\frac{D C}{D t} = 7\,x_{1}\,x_{2} + 7\,t\,(u_{1}\,x_{2} + u_{2}\,x_{1}).

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