Considera-se um campo de velocidades tal que:
u=10 e_{1}-40 e_{2}+10 e_{3}
Calcule a equação de trajetória deste campo de velocidades.
\square

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de velocidades constante
u = 10\,e_{1} \;-\; 40\,e_{2} \;+\; 10\,e_{3}
e pede a equação de trajetória. O conteúdo aqui é resolução de um sistema de EDOs ordinárias do tipo
\displaystyle \frac{\dd\mathbf{x}}{\dd t}=u(\mathbf{x},t). Como u é constante, a solução são retas parametrizadas.

Passo 2

Escrevemos o sistema de equações para as componentes x(t), y(t) e z(t):
\frac{\dd x}{\dd t} = 10, \quad \frac{\dd y}{\dd t} = -40, \quad \frac{\dd z}{\dd t} = 10.

Passo 3

Integramos cada equação em função de t:
x(t) = 10\,t + C_{1}, \quad y(t) = -40\,t + C_{2}, \quad z(t) = 10\,t + C_{3},
onde C_{1}, C_{2} e C_{3} são constantes de integração que dependem da posição inicial.

Passo 4

Seja \bigl(x_{0},y_{0},z_{0}\bigr) a posição no instante t=0. Então
x(0)=C_{1}=x_{0}, \quad y(0)=C_{2}=y_{0}, \quad z(0)=C_{3}=z_{0}.

Passo 5

Substituindo essas constantes, obtemos a forma paramétrica da trajetória:
\boxed{ \mathbf{x}(t) = \bigl(x_{0}+10\,t,\;y_{0}-40\,t,\;z_{0}+10\,t\bigr). }
Em forma de reta no espaço, também podemos escrever
\frac{x - x_{0}}{10} \;=\;\frac{y - y_{0}}{-40}\;=\;\frac{z - z_{0}}{10}.

Resposta

A equação de trajetória é
\mathbf{x}(t) = \bigl(x_{0}+10\,t,\;y_{0}-40\,t,\;z_{0}+10\,t\bigr)
ou, de forma simétrica,
\frac{x - x_{0}}{10} = \frac{y - y_{0}}{-40} = \frac{z - z_{0}}{10}.

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