Quando a força \mathbf{P} é aplicada à placa, o perfil de velocidade para um fluido newtoniano confinado sob a placa é aproximado por u=\left(12 y^{1 / 4}\right) \mathrm{mm} / \mathrm{s}, onde y está em mm. Determine a tensão de cisalhamento dentro do fluido em y=8 \mathrm{~mm}. Considere \mu=0,5\left(10^{-3}\right) \mathrm{N} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o perfil de velocidade aproximado
u(y)=12\,y^{1/4}\quad\text{(mm/s)},
com y em mm, e pede a tensão de cisalhamento interna no fluido em y=8,mm. Como o fluido é newtoniano, usamos a lei de viscosidade de Newton:
\tau = \mu\,\frac{du}{dy}\,,
onde \mu=0{,}5\times10^{-3}, N\cdot s/ m^{2}.

Passo 2

Precisamos calcular a derivada du/dy. A função é \,u(y)=12\,y^{1/4} em mm/s, logo
\frac{du}{dy} =12\cdot\frac{1}{4}\,y^{-3/4} =3\,y^{-3/4}\quad\text{(s}^{-1}\text{)},
pois aqui as unidades de comprimento (mm) se cancelam.

Passo 3

Avaliaremos em y=8,mm:
\frac{du}{dy}\Big|_{y=8} =3\cdot 8^{-3/4} =3\Big/\bigl(8^{3/4}\bigr) \approx3\big/\!4{,}7568 \approx0{,}63\;\mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Finalmente, a tensão de cisalhamento é
\tau =\mu\,\frac{du}{dy} =0{,}5\times10^{-3}\times0{,}63 \approx3{,}15\times10^{-4}\;\mathrm{Pa}.

Resposta

\displaystyle \tau\approx3{,}15\times10^{-4}\;\mathrm{Pa}

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