Quando a força \mathbf{P} é aplicada à placa, o perfil de velocidade para um fluido newtoniano confinado sob a placa é aproximado por u=\left(12 y^{1 / 4}\right) \mathrm{mm} / \mathrm{s}, onde y está em mm. Determine a tensão de cisalhamento mínima dentro do fluido. Considere \mu=0,5\left(10^{-3}\right) \mathrm{N} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o perfil de velocidade de um fluido newtoniano confinado sob uma placa, medido em milímetros:
u(y)=12\,y^{1/4}\quad\text{(mm/s)}, \quad y\text{ em mm.}
Pede-se a tensão de cisalhamento mínima no interior do fluido, sabendo que o coeficiente de viscosidade é
\mu = 0{,}5\times10^{-3}\;\mathrm{N\cdot s/m^2}.
Para resolver precisaremos (1) passar tudo para unidades SI, (2) lembrar que a tensão de cisalhamento é
\tau(y)=\mu\,\frac{du}{dy}
e (3) estudar como \tau(y) varia com y.

Passo 2

Passo um: convertemos u e y para o SI. Seja
y_m = y\;[{\rm mm}]\times10^{-3}\;[{\rm m/mm}].
Então
u = 12\,y^{1/4}\;\mathrm{mm/s} =12\times10^{-3}\,(y_m\times10^3)^{1/4}\;\mathrm{m/s} =0{,}067476\,y_m^{1/4}\;\mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora calculamos a derivada
\frac{du}{dy_m} =0{,}067476\cdot\frac14\,y_m^{-3/4} =0{,}016869\,y_m^{-3/4}\quad[1/\mathrm{s}].
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\tau(y_m) =\mu\,\frac{du}{dy_m} =0{,}5\times10^{-3}\times0{,}016869\,y_m^{-3/4} =8{,}4345\times10^{-6}\;y_m^{-3/4}\;\mathrm{Pa}.

Passo 4

Note que y_m^{-3/4} é decrescente quando y_m cresce, pois o expoente é negativo. Portanto \tau(y) diminui à medida que y aumenta. O valor mínimo de \tau ocorre no maior y disponível dentro do fluido.

Resposta

Como no limite de maior espessura (ou na interface livre) a tensão de cisalhamento tende a zero, a tensão mínima é
\boxed{\tau_{\min}=0\;\mathrm{Pa}.}

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