Para a equação de trajetória dada a seguir:
x_{1}=4 X_{1} t^{3}+6 X_{2} t^{2}+X_{3} t
Calcule o campo de velocidades deste escoamento.

Passo 1

O enunciado fornece a lei de trajetória em coordenadas lagrangianas \mathbf{X}=(X_{1},X_{2},X_{3}), dizendo que a única componente não trivial é
x_{1}(t,\mathbf{X}) = 4\,X_{1}\,t^{3} + 6\,X_{2}\,t^{2} + X_{3}\,t.
Queremos o campo de velocidades deste escoamento, isto é, \mathbf{v}(t,\mathbf{X}) = \partial\mathbf{x}/\partial t.

Passo 2

Como apenas x_{1} depende de t, calculamos
\frac{\partial x_{1}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(4\,X_{1}\,t^{3} + 6\,X_{2}\,t^{2} + X_{3}\,t\bigr) = 12\,X_{1}\,t^{2} + 12\,X_{2}\,t + X_{3}.
As outras componentes não são informadas, logo \partial x_{2}/\partial t = 0 e \partial x_{3}/\partial t = 0.

Resposta

O campo de velocidades em coordenadas lagrangianas é
\mathbf{v}(t,\mathbf{X}) = \Bigl(12\,X_{1}\,t^{2} + 12\,X_{2}\,t + X_{3},\;0,\;0\Bigr).

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