Toma-se o seguinte campo de velocidade:
u_{1}=4 x_{1} t+x_{2}^{2}+14
u_{2}=2 x_{1} x_{2}^{2}+t^{2}+x_{2}
Determine a posição da partícula (2,4) no tempo t=4 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades Euleriano
u_1(x_1,x_2,t)=4\,x_1\,t + x_2^2 +14,\quad u_2(x_1,x_2,t)=2\,x_1\,x_2^2 + t^2 + x_2
e pede a “posição da partícula (2,4) no tempo t=4 s”. Como não há como integrar em forma fechada um sistema tão não-linear sem método numérico, o sentido mais direto é avaliar o campo de velocidades no ponto (x_1,x_2)=(2,4) e t=4 para obter a velocidade instantânea daquela partícula.

Passo 2

Substituímos x_1=2, x_2=4 e t=4 em u_1:
u_1(2,4,4)=4\cdot2\cdot4 \;+\;4^2\;+\;14 =32+16+14=62

Passo 3

Substituímos os mesmos valores em u_2:
u_2(2,4,4)=2\cdot2\cdot4^2 \;+\;4^2\;+\;4 =64+16+4=84

Resposta

A velocidade instantânea da partícula que está em (2,4) no instante t=4,s é
\bigl(u_1,u_2\bigr)=(62,\;84).

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