Considera-se um dado escoamento cujo campo de velocidade é dado por:
Calcule a circulação ao redor de um meio contínuo arbitrário. Este escoamento atende ao teorema da circulação de Kelvin?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo de velocidade dado por:
Precisamos calcular a circulação ao redor de um caminho fechado arbitrário e verificar se esse escoamento satisfaz o teorema da circulação de Kelvin. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é circulação, como calcular uma integral de linha em um campo vetorial e conhecer as condições do teorema de Kelvin.
Passo 2
Vamos começar calculando a circulação. A circulação
em torno de um caminho fechado
é definida como a integral de linha do campo de velocidade ao longo de
:
Neste caso,
, então precisamos integrar
ao longo de qualquer caminho fechado
.
Passo 3
Para simplificar, podemos aplicar o teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área
delimitada por
:
Vamos calcular os termos parciais necessários.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na expressão do teorema de Green:
Passo 5
A integral dupla
representa a área
do caminho fechado
. Portanto, a circulação
é igual à área cercada por
:
Passo 6
Agora, vamos verificar se o escoamento satisfaz o teorema da circulação de Kelvin. Esse teorema afirma que, em um escoamento inviscido e barotrópico, a circulação permanece constante ao longo do tempo. Para que isso seja verdade, o rotacional do campo de velocidade deve satisfazer certas condições, como a ausência de vorticidade que varia com o tempo.
Passo 7
Calculando o rotacional de
:
Como o rotacional é constante e não depende de
ou
, não há variação temporal da vorticidade.
Passo 8
Portanto, como a circulação depende apenas da área e o rotacional é constante, o escoamento satisfaz o teorema da circulação de Kelvin. Isso significa que, mesmo que a circulação possa mudar com a área escolhida, desde que o tentáculo do fluxo permaneça constante, a circulação será preservada conforme o teorema.
Resposta
A circulação ao redor de qualquer caminho fechado arbitrário
é igual à área delimitada por
. Além disso, o escoamento dado satisfaz o teorema da circulação de Kelvin.