Considera-se um dado escoamento cujo campo de velocidade é dado por:
u=x2 e1+2 x1 e2
Calcule a circulação ao redor de um meio contínuo arbitrário. Este escoamento atende ao teorema da circulação de Kelvin?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo de velocidade dado por:
u = x2 e1 + 2 x1 e2
Precisamos calcular a circulação ao redor de um caminho fechado arbitrário e verificar se esse escoamento satisfaz o teorema da circulação de Kelvin. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é circulação, como calcular uma integral de linha em um campo vetorial e conhecer as condições do teorema de Kelvin.

Passo 2

Vamos começar calculando a circulação. A circulação Gamma = ointC u cdot dl em torno de um caminho fechado é definida como a integral de linha do campo de velocidade ao longo de :
Neste caso, , então precisamos integrar ao longo de qualquer caminho fechado .

Passo 3

Para simplificar, podemos aplicar o teorema de Green, que relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área ointC u cdot dl = integral duplaA ( partial u2partial x1 - partial u1partial x2 ) dx1 dx2 delimitada por :
Vamos calcular os termos parciais necessários.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial u2partial x1 = partialpartial x1 (2 x1) = 2
partial u1partial x2 = partialpartial x2 (x2) = 1
Substituindo na expressão do teorema de Green:
Gamma = integral duplaA (2 - 1) dx1 dx2 = integral duplaA 1 , dx1 dx2

Passo 5

A integral dupla Gamma = Área de A representa a área do caminho fechado . Portanto, a circulação é igual à área cercada por :
Á

Passo 6

Agora, vamos verificar se o escoamento satisfaz o teorema da circulação de Kelvin. Esse teorema afirma que, em um escoamento inviscido e barotrópico, a circulação permanece constante ao longo do tempo. Para que isso seja verdade, o rotacional do campo de velocidade deve satisfazer certas condições, como a ausência de vorticidade que varia com o tempo.

Passo 7

Calculando o rotacional de rot , u = partial u2partial x1 - partial u1partial x2 = 2 - 1 = 1 :
Como o rotacional é constante e não depende de ou , não há variação temporal da vorticidade.

Passo 8

Portanto, como a circulação depende apenas da área e o rotacional é constante, o escoamento satisfaz o teorema da circulação de Kelvin. Isso significa que, mesmo que a circulação possa mudar com a área escolhida, desde que o tentáculo do fluxo permaneça constante, a circulação será preservada conforme o teorema.

Resposta

A circulação ao redor de qualquer caminho fechado arbitrário é igual à área delimitada por . Além disso, o escoamento dado satisfaz o teorema da circulação de Kelvin.

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