Para o seguinte campo de velocidade:
Calcule a equação de trajetória da partícula de rótulo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidade dado por:
O objetivo é encontrar a equação da trajetória de uma partícula que começa na posição
. Vamos usar conceitos de cálculo de trajetórias em campos de velocidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da velocidade. Nosso campo de velocidade tem duas partes:
- Na direção
(horizontal): - Na direção
(vertical):
Essas expressões nos dizem como a velocidade da partícula varia com as posições
e
.
Passo 3
Para encontrar a trajetória, precisamos resolver as equações diferenciais que descrevem como as posições
e
mudam com o tempo
. As equações são:
Vamos resolver essas equações passo a passo.
Passo 4
Começamos resolvendo a primeira equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear simples cuja solução é:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda equação diferencial:
Substituindo
que encontramos:
Essa também é uma equação diferencial linear. Podemos resolvê-la usando o método de separação de variáveis.
Passo 6
Reescrevemos a equação como:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Logo:
Então a solução para
é:
Passo 8
Agora, temos as expressões de
e
. Para encontrar a equação da trajetória
em função de
, eliminamos o tempo
.
Sabemos que:
Substituindo em
:
Resposta
A equação da trajetória da partícula é: