Para o seguinte campo de velocidade:
u=9 x1 e1+17 x1 x2 e2
Calcule a equação de trajetória da partícula de rótulo (1,1).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidade dado por:
u = 9 x1 e1 + 17 x1 x2 e2
O objetivo é encontrar a equação da trajetória de uma partícula que começa na posição (1,1). Vamos usar conceitos de cálculo de trajetórias em campos de velocidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da velocidade. Nosso campo de velocidade tem duas partes:
  • Na direção e1 (horizontal): u1 = 9x1
  • Na direção e2 (vertical): u2 = 17x1x2
Essas expressões nos dizem como a velocidade da partícula varia com as posições x1 e x2.

Passo 3

Para encontrar a trajetória, precisamos resolver as equações diferenciais que descrevem como as posições x1 e x2 mudam com o tempo t. As equações são:
dx1dt = 9x1
dx2dt = 17x1x2
Vamos resolver essas equações passo a passo.

Passo 4

Começamos resolvendo a primeira equação diferencial:
dx1dt = 9x1
Essa é uma equação diferencial linear simples cuja solução é:
x1(t) = x1(0) cdot e^9t
Sabemos que x1(0) = 1, então:
x1(t) = e^9t

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda equação diferencial:
dx2dt = 17x1x2
Substituindo x1(t) que encontramos:
dx2dt = 17e^9tx2
Essa também é uma equação diferencial linear. Podemos resolvê-la usando o método de separação de variáveis.

Passo 6

Reescrevemos a equação como:
dx2x2 = 17e^9tdt
Integrando ambos os lados:
ln|x2| = 179e^9t + C
Onde C é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados:
x2 = C' e^179e^9t

Passo 7

Usamos a condição inicial x2(0) = 1 para encontrar C':
1 = C' e^179e^0 Rightarrow 1 = C' e^179
Logo:
C' = e^-179
Então a solução para x2(t) é:
x2(t) = e^-179 cdot e^179e^9t = e^179(e^9t - 1)

Passo 8

Agora, temos as expressões de x1(t) e x2(t). Para encontrar a equação da trajetória x2 em função de x1, eliminamos o tempo t.
Sabemos que:
x1 = e^9t Rightarrow t = ln x19
Substituindo em x2(t):
x2 = e^179(e^9cdot ln x19 - 1) = e^179(x1 - 1)

Resposta

A equação da trajetória da partícula é:
x2 = e^179(x1 - 1)

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