Para o seguinte campo de velocidade:
u=3 x1 e1+5 x2 e2
  • Calcule a função de corrente através da componente x2 do campo de velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. A gente tem um campo de velocidade dado por:
u = 3 x1 e1 + 5 x2 e2
O objetivo é calcular a função de corrente utilizando a componente desse campo de velocidade. A matéria que estamos trabalhando aqui é mecânica dos fluidos, especificamente fluxo bidimensional e funções de corrente. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função de corrente está relacionada às componentes de velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é a função de corrente. Em um fluxo bidimensional, a função de corrente u1 = partial psipartial x2 é uma função escalar que nos ajuda a descrever o fluxo do fluido de forma mais fácil. Ela tem a propriedade de que as linhas de corrente do fluido correspondem às linhas de u2 = -partial psipartial x1 constante.
A relação entre as componentes de velocidade e e a função de corrente é dada por:
Essas equações nos dizem como derivar a partir das componentes de velocidade.

Passo 3

Como queremos calcular a função de corrente usando a componente u1 = partial psipartial x2 , vamos começar com a primeira equação:
3 x1 = partial psipartial x2
Substituindo o valor de psi = integral 3 x1 , dx2 = 3 x1 x2 + f(x1) que temos:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função arbitrária de que aparece quando integramos em relação a .

Passo 4

Para determinar a função u2 = -partial psipartial x1 , vamos usar a segunda equação:
5 x2 = -partialpartial x1 ( 3 x1 x2 + f(x1) )
Substituindo 5 x2 = -( 3 x2 + dfdx1 ) e 5 x2 = -3 x2 - dfdx1 Rightarrow dfdx1 = -3 x2 - 5 x2 = -8 x2 :
Calculando a derivada:
Vamos rearranjar para encontrar :
Mas aqui temos um problema: a derivada de deveria depender apenas de , mas estamos obtendo algo que depende de . Isso indica que deve ser uma constante, já que não pode depender de .
Portanto, concluímos que é constante e podemos descartá-la (ou considerar como zero sem perda de generalidade).

Resposta

A função de corrente é:
psi = 3 x1 x2

Exercícios relacionados