Para o seguinte campo de velocidade:
- Calcule a função de corrente através da componente
do campo de velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. A gente tem um campo de velocidade dado por:
O objetivo é calcular a função de corrente utilizando a componente
desse campo de velocidade. A matéria que estamos trabalhando aqui é mecânica dos fluidos, especificamente fluxo bidimensional e funções de corrente. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função de corrente está relacionada às componentes de velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é a função de corrente. Em um fluxo bidimensional, a função de corrente
é uma função escalar que nos ajuda a descrever o fluxo do fluido de forma mais fácil. Ela tem a propriedade de que as linhas de corrente do fluido correspondem às linhas de
constante.
A relação entre as componentes de velocidade
e
e a função de corrente
é dada por:
Essas equações nos dizem como derivar
a partir das componentes de velocidade.
Passo 3
Como queremos calcular a função de corrente usando a componente
, vamos começar com a primeira equação:
Substituindo o valor de
que temos:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que aparece quando integramos em relação a
.
Passo 4
Para determinar a função
, vamos usar a segunda equação:
Substituindo
e
:
Calculando a derivada:
Vamos rearranjar para encontrar
:
Mas aqui temos um problema: a derivada de
deveria depender apenas de
, mas estamos obtendo algo que depende de
. Isso indica que
deve ser uma constante, já que não pode depender de
.
Portanto, concluímos que
é constante e podemos descartá-la (ou considerar como zero sem perda de generalidade).
Resposta
A função de corrente é: