Um dos princípios de voo de insetos reside na forma como suas asas se movimentam para garantir a sustentação destes. Este movimento se inicia com as asas se juntando na vertical para depois abrirem para a direção horizontal. Este movimento gera um movimento de ar cujas recirculações geram uma sustentação que permite que o inseto possa flutuar no ar. Baseado neste contexto, como o vetor vorticidade poderia ser estimado neste escoamento?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que analisar o voo dos insetos, especificamente como o movimento das asas cria sustentação através de recirculações no ar. O conteúdo envolvido aqui é a vorticidade, que faz parte da dinâmica dos fluidos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é vorticidade e como estimá-la em um escoamento criado pelo movimento das asas dos insetos.
Passo 2
Vamos começar definindo o que é vorticidade. Vorticidade é uma medida da rotação local dos fluidos, ou seja, indica quão intensamente o ar está girando em um ponto específico do escoamento. Matematicamente, a vorticidade
é definida como o rotor (ou curl) do campo de velocidade
:
Isso significa que para calcular a vorticidade, precisamos conhecer o campo de velocidades do ar ao redor das asas durante o voo.
Passo 3
Agora, vamos pensar no movimento das asas dos insetos. Quando as asas se juntam na vertical e depois se abrem horizontalmente, elas criam um fluxo de ar que circula ao redor delas. Essas recirculações são responsáveis pela geração da sustentação. Para estimar a vorticidade nesse escoamento, precisamos analisar como a velocidade do ar varia no espaço.
Passo 4
Como não temos uma equação específica para o campo de velocidades nesse caso, podemos simplificar. Suponha que a velocidade do ar tenha componentes
e
nas direções horizontal e vertical, respectivamente. Então, a vorticidade em duas dimensões é dada por:
Isso nos mostra que a vorticidade depende das variações das componentes de velocidade em relação às coordenadas espaciais.
Passo 5
Para estimar a vorticidade no escoamento das asas dos insetos, precisamos observar como a velocidade do ar muda ao longo das asas durante o movimento. Por exemplo, se a asa move para baixo, acelerando o ar para baixo, isso cria uma variação na componente vertical da velocidade
em relação à posição horizontal
. Calculando essas derivadas parciais e subtraindo, obtemos a vorticidade
nesse ponto.
Resposta
A vorticidade no escoamento gerado pelo movimento das asas dos insetos pode ser estimada calculando o rotor do campo de velocidade das correntes de ar, ou seja: