Considera-se escoamento bidimensional, incompressivel e irrotacional em torno de um círculo de raio R.
O potencial de velocidade oriundo da superposição do escoamento uniforme e do dipolo é dado em coordenadas polares:
\varphi(r, \theta)=u_{\infty}\left(r+\frac{R^{2}}{r}\right) \cos \theta
Onde u_{r}(R, \theta)=0
Use a equação de Bernoulli para deduzir o coeficiente de pressão como função da coordenada ?, sabendo que este coeficiente pode ser calculado como:
C_{p}=\frac{p(\theta)-p_{\infty}}{0,5 \rho u_{\infty}}

Passo 1

O enunciado apresenta um escoamento potencial, bidimensional, incompressível e irrotacional em torno de um cilindro de raio R, cuja função potencial é
\varphi(r,\theta)=u_{\infty}\Bigl(r+\frac{R^{2}}{r}\Bigr)\cos\theta.
Queremos usar a equação de Bernoulli para encontrar o coeficiente de pressão
C_{p}=\frac{p(\theta)-p_{\infty}}{\tfrac{1}{2}\,\rho\,u_{\infty}^{2}}
na superfície do cilindro, isto é, em r=R. Para isso, vamos (i) obter os componentes da velocidade a partir de \varphi, (ii) avaliar na superfície, (iii) aplicar Bernoulli e (iv) definir C_{p}.

Passo 2

Calculamos os componentes da velocidade em coordenadas polares a partir de
u_{r}=\frac{\partial\varphi}{\partial r}, \qquad u_{\theta}=\frac{1}{r}\,\frac{\partial\varphi}{\partial \theta}.
Derivando, obtemos
u_{r} =\frac{\partial}{\partial r}\Bigl[u_{\infty}\bigl(r+\tfrac{R^{2}}{r}\bigr)\cos\theta\Bigr] =u_{\infty}\Bigl(1-\frac{R^{2}}{r^{2}}\Bigr)\cos\theta,
u_{\theta} =\frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial \theta}\Bigl[u_{\infty}\bigl(r+\tfrac{R^{2}}{r}\bigr)\cos\theta\Bigr] =-\,u_{\infty}\Bigl(1+\frac{R^{2}}{r^{2}}\Bigr)\sin\theta.

Passo 3

Na superfície do cilindro ( r=R) temos
u_{r}(R,\theta) =u_{\infty}\Bigl(1-\frac{R^{2}}{R^{2}}\Bigr)\cos\theta =0,
u_{\theta}(R,\theta) =-\,u_{\infty}\Bigl(1+\frac{R^{2}}{R^{2}}\Bigr)\sin\theta =-\,2\,u_{\infty}\,\sin\theta.
Logo, a velocidade tangencial vale \bigl|u_{\theta}(R,\theta)\bigr|=2\,u_{\infty}\,\lvert\sin\theta\rvert.

Passo 4

O módulo da velocidade na superfície é
v^{2}=u_{r}^{2}+u_{\theta}^{2} =0^{2}+\bigl(-2\,u_{\infty}\sin\theta\bigr)^{2} =4\,u_{\infty}^{2}\,\sin^{2}\theta.

Passo 5

Pela equação de Bernoulli (entre a região livre, onde v=u_{\infty} e p=p_{\infty}, e a superfície), vale
p + \tfrac{1}{2}\,\rho\,v^{2} =p_{\infty} + \tfrac{1}{2}\,\rho\,u_{\infty}^{2}.
Rearranjando,
p(\theta)-p_{\infty} =\tfrac{1}{2}\,\rho\bigl(u_{\infty}^{2}-v^{2}\bigr).

Passo 6

Definindo o coeficiente de pressão
C_{p} =\frac{p(\theta)-p_{\infty}}{\tfrac{1}{2}\,\rho\,u_{\infty}^{2}},
substituímos v^{2}=4\,u_{\infty}^{2}\sin^{2}\theta para obter
C_{p} = \frac{\tfrac12\,\rho\bigl(u_{\infty}^{2}-4\,u_{\infty}^{2}\sin^{2}\theta\bigr)} {\tfrac12\,\rho\,u_{\infty}^{2}} =1 - 4\,\sin^{2}\theta.

Resposta

C_{p}(\theta)=1 - 4\,\sin^{2}\theta.

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