Considera-se um escoamento bidimensional, incompressivel e irrotacional em torno de um círculo de raio R
O potencial de velocidade oriundo da superposição do escoamento uniforme e do dipolo é dado em coordenadas polares:
\varphi(r, \theta)=u_{\infty}\left(r+\frac{R^{2}}{r}\right) \cos \theta
Onde u_{r}(R, \theta)=0
Calcule o vetor velocidade deste escoamento.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento bidimensional, incompressível e irrotacional ao redor de um cilindro de raio R. Foi dado o potencial de velocidade em coordenadas polares:
\varphi(r,\theta)=u_{\infty}\Bigl(r+\frac{R^{2}}{r}\Bigr)\cos\theta
e pede-se o vetor velocidade \mathbf{v}=\nabla\varphi. Para isso, vamos usar a forma do gradiente em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares (r,\theta), as componentes da velocidade são dadas por
v_{r}=\frac{\partial\varphi}{\partial r}, \quad v_{\theta}=\frac{1}{r}\,\frac{\partial\varphi}{\partial \theta}.

Passo 3

Calcular a derivada de \varphi em relação a r:
\frac{\partial\varphi}{\partial r} = u_{\infty}\,\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r+\frac{R^{2}}{r}\Bigr)\cos\theta = u_{\infty}\Bigl(1 - \frac{R^{2}}{r^{2}}\Bigr)\cos\theta.
Logo,
v_{r} = u_{\infty}\Bigl(1 - \frac{R^{2}}{r^{2}}\Bigr)\cos\theta.

Passo 4

Calcular a derivada de \varphi em relação a \theta:
\frac{\partial\varphi}{\partial \theta} = u_{\infty}\Bigl(r+\frac{R^{2}}{r}\Bigr)\frac{\partial}{\partial \theta}(\cos\theta) = -\,u_{\infty}\Bigl(r+\frac{R^{2}}{r}\Bigr)\sin\theta.
Dividindo por r obtemos
v_{\theta} = \frac{1}{r}\,\frac{\partial\varphi}{\partial \theta} = -\,u_{\infty}\Bigl(1+\frac{R^{2}}{r^{2}}\Bigr)\sin\theta.

Passo 5

Reunindo as componentes no vetor velocidade em base polar \{\hat{\mathbf e}_{r},\hat{\mathbf e}_{\theta}\}, temos
\mathbf{v} = v_{r}\,\hat{\mathbf e}_{r} + v_{\theta}\,\hat{\mathbf e}_{\theta}.

Resposta

\mathbf{v} = u_{\infty}\Bigl(1-\frac{R^{2}}{r^{2}}\Bigr)\cos\theta\;\hat{\mathbf e}_{r} \;-\;u_{\infty}\Bigl(1+\frac{R^{2}}{r^{2}}\Bigr)\sin\theta\;\hat{\mathbf e}_{\theta}.

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